Question

descubra o lavor de x na P.A
(x+2)+(x+5)+(x+8)+....(x+35)=282​

Answer 1

Resposta:

x = 5

Explicação passo a passo:

a₁ = x + 2

a₂ = x + 5

r = a₂ - a₁ = x + 5 - (x + 2) = x + 5 - x - 2 = 5 - 2 = 3

n = ?

Sₙ = 282

aₙ = x + 35

a₁ + (n - 1) • r = aₙ

x + 2 + (n - 1) • 3 = x + 35

(n - 1) • 3 = x + 35 - x - 2

(n - 1) • 3 = 35 - 2

(n - 1) • 3 = 33

n - 1 = 33 / 3

n - 1 = 11

n = 11 + 1

n = 12

((a₁ + aₙ) • n) / 2 = Sₙ

((x + 2 + x + 35) • 12) / 2 = 282

(2x + 2 + 35) • 6 = 282

(2x + 37) • 6 = 282

2x + 37 = 282 / 6

2x + 37 = 47

2x = 47 - 37

2x = 10

x = 10 / 2

x = 5

Answer 2

Resposta:

O valor de x, na Progressão Aritmética cujos termos são (x + 2), (x + 5), (x + 8), ...., (x + 35) e cuja soma é 282, é 5.

Ou seja, x = 5.

Explicação passo a passo:

O enunciado da Tarefa nos informa que se trata de uma Progressão Aritmética cujos termos componentes são:

1º termo: a₁ = (x + 2).

2º termo: a₂ = (x + 5).

3º termo: a₃ = (x + 8).

enésimo termo: aₙ = (x + 35).

Em uma Progressão Aritmética, a razão é obtida pela diferença entre dois termos consecutivos. Vejamos:

2º termo - 1º termo = razão

a₂ - a₁ = r

(x + 5) - (x + 2) = r

x + 5 - x - 2 = r

x - x + 5 - 2 = r

0 + 3 = r

3 = r ou r = 3

3º termo - 2º termo = razão

a₃ - a₂ = r

(x + 8) - (x + 5) = r

x + 8 - x - 5 = r

x - x + 8 - 5 = r

0 + 3 = r

3 = r ou r = 3

Portanto, na Progressão Aritmética dada, a razão é igual a 3.

Duas fórmulas são altamente relevantes em uma Progressão Aritmética, e que serão por nós utilizadas para resolver a Tarefa:

FÓRMULA DO TERMO GERAL:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1).r$

SOMA DOS TERMOS:

$S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n}).n}{2}$

Onde:

a₁: 1º termo.

aₙ: enésimo termo.

n: número de termos.

r = razão.

Sn: soma dos "n" termos.

De posse destas duas fórmulas e dos dados da Tarefa, teremos:

• Enésimo termo (aₙ) = (x + 35); 1º termo (a₁) = (x + 2); Número de termos (n) = incógnita; Razão (r) = 3:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1).r\\(x + 35) = (x + 2) + (n-1).3\\x + 35 = x + 2 + 3n - 3\\x + 35 - x - 2 + 3 = 3n\\35+3-2 = 3n\\38-2 = 3n\\36 = 3n\\\frac{36}{3}=n\\12=n\\ou\\n=12$

• Soma dos "n" termos (Sn) = 282; 1º termo (a₁) = (x + 2); Número de termos (n)= 12:

$S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n}).n}{2}\\S_{12} = \frac{(a_{1}+a_{12}).n}{2}\\S_{12} = \frac{(x+2 + x+35).12}{2}\\282=\frac{(x+x+2+35).12}{2}\\564=(2x+37).12\\564 = 24x + 444\\564-444=24x\\120=24x\\\frac{120}{24}=x\\5 = x\\ ou\\x = 5$

Logo, o valor de x é igual a 5.