Question

Descubra dois números cuja soma seja igual a -6 e cujo produto seja -16​

Answer 1

Resposta:

Os números são $2$ e $-8$  

Explicação passo a passo:

Precisamos transcrever em linguagem matemática o proposto no enunciado.

"dois números cuja a soma seja -6"

Ora, dois números vamos chamar um deles de $x$, por exemplo, e o segundo de $y$. Cuja soma seja -6, fica assim:

$x+y=-6$

Agora a segunda parte, "cujo o produto seja -16", lembrando que são os mesmos números, ou seja, $x$ e $y$ que escolhemos anteriormente, sendo assim temos:

$x.y=-16$

Como temos duas incógnitas e duas equações, há como descobrir o valor das incógnitas montando um sistema de equações e substituindo a relação das variáveis de uma equação na outra:

$\left \{ {{x+y=-6} \atop {xy=-16}} \right.$

Vamos isolar o $x$ da primeira equação:

$x+y=-6$

Subtraindo os dois lados por $-y$:

$x+y-y=-6-y$

$x=-6-y$

Agora substituindo o $x$ isolado na segunda equação:

$xy=-16$

$(-6-y).y=-16$

Fazendo a distributiva:

Equação do segundo grau, aplicando Báskara para descobrir as raízes que solucionam a função:

$y=\frac{-b\frac{}{+} \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2a}$

No nosso caso:

$ay^{2} +by+c=0$

$y^{2} +6y-16=0$

$a=1$

$b=6$

$c=-16$

Como uma raiz pode assumir um valor positivo e outro negativo teremos duas soluções, vamos primeiro fazer o caso positivo. Substituindo em Báskara:

$y_{1} =\frac{-6+\sqrt{6^{2}-4.1.(-16) } }{2.1}$

$y_{1} =\frac{-6+\sqrt{36+64 } }{2}$

$y_{1} =\frac{-6+\sqrt{100 } }{2}=\frac{-6+10}{2}$

$y_{1} =\frac{4}{2} =2$

Agora no caso negativo:

$y_{2} =\frac{-6-\sqrt{36+64 } }{2}$

$y_{2} =\frac{-6-\sqrt{100 } }{2}$

$y_{2} =\frac{-6-10}{2}$

$y_{2} =-\frac{16}{2} =-8$

Descobrimos que o $y$ pode assumir dois valores, $2$ e $-8$, logo o valor de $x$ também deve assumir dois valores possíveis, veremos:

Quando escolho $y=2$ por exemplo, e substituo na equação dada:

$x+y=-6$

temos:

$x+2=-6$

$x=-6-2$

$x=-8$

Nesse caso $x$ assume o valor de $-8$, mas e se usarmos o valor de $y=-8$ como encontramos, teremos:

$x+y=-6$

$x+(-8)=-6$

$x=8-6$

$x=2$

Ou seja, o valor de $x$ também pode assumir dois valores na solução e esses valores também são $2$ e $-8$. Quando $x=2$ então $y=-8$ se $x=-8$ então $y=-2$.

Vamos testar na segunda equação:

$xy=-16$

se $x=2$

$2y=-16$

$y=-\frac{16}{2} =-8$

se $x=-8$,

$-8y=-16$

$y=\frac{16}{8} =2$

Sendo assim, os dois números cuja a soma seja ihual a $-6$ e o produto seja $-16$ são:

$2$ e $-8$