Question

Descubra a lei que associa an e n.

Answer 1

Resposta:

$\displaystyle \boxed{\boxed{\mathtt{a_n = \begin{cases} \mathsf{\frac{7 - n}{2}, \qquad \texttt{se n \'e \'impar}} \\\\ \mathtt{\frac{4 - n}{2}, \qquad \texttt{se n \'e par}} \end{cases}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Seja $\displaystyle \mathtt{\left \{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8,... \right \}}$ a sequência em questão. Isto posto, note que podemos separá-la noutras duas sequências: uma cujos sub-índices são ímpares e outra de sub-índice par.

Inicialmente, analisemos $\displaystyle \mathtt{\left \{ a_1, a_3, a_5, a_7,... \right \}}$; ou seja, os sub-índices ímpares.

Dada a sequência $\displaystyle \mathtt{\left \{ a_1, a_3, a_5, a_7,... \right \} = \left \{ 3, 2, 1, 0, - 1, - 2,... \right \}}$. Não é difícil perceber que é uma Progressão Aritmética de razão $\displaystyle \mathtt{(- 1)}$. Assim, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{\bullet \qquad a_1 = a_1 + 0 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_3 = a_1 + 1 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_5 = a_1 + 2 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_7 = a_1 + 3 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_9 = a_1 + 4 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (...)} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_n = a_1 + \left ( \frac{n - 1}{2} \right ) \cdot r}$

Desenvolvendo,

$\displaystyle \\ \mathsf{a_n = a_1 + \left ( \frac{n - 1}{2} \right ) \cdot r} \\\\\\ \mathsf{a_n = 3 + \left ( \frac{n - 1}{2} \right ) \cdot (- 1)} \\\\\\ \mathsf{a_n = 3 + \left ( \frac{- n + 1}{2} \right )} \\\\\\ \mathsf{a_n = \frac{6 - n + 1}{2}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{a_n = \frac{7 - n}{2}}}$

Obs.: o sub-índice de cada item acima corresponde ao dobro do número que multiplica a razão adicionado de um. Ao inverter, isso é o mesmo que metade da diferença do sub-índice subtraído de um.

Bom! até aqui tiramos que:

Se $\displaystyle \mathtt{n}$ é ímpar, então a lei que associa $\displaystyle \mathtt{a_n}$ a $\displaystyle \mathtt{n}$ é $\displaystyle \boxed{\mathtt{\frac{7 - n}{2}}}$

analisemos agora a sequência $\displaystyle \mathtt{\left \{ a_2, a_4, a_6, a_8,... \right \}}$; ou seja, a sequência de sub-índices pares.

Dada a sequência $\displaystyle \mathtt{\left \{ a_2, a_4, a_6, a_8,... \right \} = \left \{ 1, 0, - 1, - 2, - 3, - 4,... \right \}}$. Não é difícil notar que também é uma Progressão Aritmética de razão $\displaystyle \mathtt{(- 1)}$. Assim:

$\\ \displaystyle \mathsf{\bullet \qquad a_2 = a_2 + 0 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_4 = a_2 + 1 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_6 = a_2 + 2 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_8 = a_2 + 3 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_{10} = a_2 + 4 \cdot r} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (...)} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad a_n = a_2 + \left ( \frac{n}{2} - 1 \right ) \cdot r}$

Desenvolvendo,

$\displaystyle \\ \mathsf{a_n = a_2 + \left ( \frac{n}{2} - 1 \right ) \cdot r} \\\\\\ \mathsf{a_n = 1 + \left ( \frac{n}{2} - 1 \right ) \cdot (- 1)} \\\\\\ \mathsf{a_n = 1 - \frac{n}{2} + 1} \\\\\\ \mathsf{a_n = \frac{2 - n + 2}{2}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{a_n = \frac{4 - n}{2}}}$

Por fim, concluímos que:

$\displaystyle \boxed{\boxed{\mathsf{a_n = \begin{cases} \mathsf{\frac{7 - n}{2}, \qquad \textsf{se n \'e \'impar}} \\\\ \mathsf{\frac{4 - n}{2}, \qquad \textsf{se n \'e par}} \end{cases}}}}$