Question

Descubra a equação do 2° grau cujas raízes são -3+√3 e -3-√3. Me ajudem!!!!

Answer 1

João, vou postar duas formas distintas de solucionar.

Resolução I: soma e produto.

Sabe-se que uma equação do segundo grau pode ser escrita sob a seguinte forma:

$\mathbf{x^2 - Sx + P = 0}$

 Onde "S" é a soma das raízes e "P" o produto.

 Isto posto,

Soma das raízes:

$\\ \mathsf{S = (- 3 + \sqrt{3} + (- 3 - \sqrt{3})} \\\\ \mathsf{S = - 6}$

Produto das raízes:

$\\ \mathsf{P = (- 3 + \sqrt{3}) \cdot (- 3 - \sqrt{3})} \\\\ \mathsf{P = 9 - 3} \\\\ \mathsf{P = 6}$

 Logo,

$\\ \mathsf{x^2 - Sx + P = 0} \\\\ \mathsf{x^2 - (- 6)x + 6 = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{x^2 + 6x + 6 = 0}}$


 Resolução II:

Fatorando um equação de grau 2, ela fica da seguinte forma:

$\mathbf{a \cdot (x - x') \cdot (x - x'') = 0}$

 Onde x' e x'' são as raízes e "a" é não-nulo. Substituindo,

$\\ \displaystyle \mathsf{a \cdot \left [x - (- 3 + \sqrt{3}) \right ] \cdot \left [ x - (- 3 - \sqrt{3}) \right ] = 0} \\\\ \mathsf{a \cdot (x + 3 - \sqrt{3}) \cdot (x + 3 + \sqrt{3}) = 0} \\\\ \mathsf{a \cdot \left [ (x + 3) - \sqrt{3} \right ] \cdot \left [ (x + 3) + \sqrt{3} \right ] = 0} \\\\ \mathsf{a \cdot \left [ (x + 3)^2 - (\sqrt{3})^2 \right ] = 0} \\\\ \mathsf{a \cdot (x^2 + 6x + 9 - 3) = 0} \\\\ \mathsf{a \cdot (x^2 + 6x + 6) = 0 \qquad \qquad a \neq 0} \\\\ \boxed{\mathsf{x^2 + 6x + 6 = 0}}$