Question

Descreva o tipo de indeterminação e resolva o limite :

$\frac{ \sqrt{h} -1 }{h-1}$

Answer 1

Olá


Você não colocou a quanto o 'h' tende, mas para que seja uma indeterminação o 'h' deve tender a 1.


$\displaystyle\mathsf{ \lim_{h \to 1} ~\frac{\sqrt{h}-1}{h-1} ~=~ \frac{ \sqrt{1}-1 }{1-1}~=~ \frac{0}{0} }$


É uma indeterminação do tipo 0/0.



Para resolver esse limite, deve-se multiplicar pelo conjugado do numerador;


$\displaystyle\mathsf{ \lim_{h \to 1} ~\frac{\sqrt{h}-1}{h-1} ~\cdot ~ \frac{\sqrt{h}+1}{\sqrt{h}+1} }\\\\\\\\\\\mathsf{ \lim_{h \to 1} ~\frac{\sqrt{h}^2-1^2}{(h-1)\cdot(\sqrt{h}+1)} }\\\\\\\\\\\mathsf{ \lim_{h \to 1} ~\frac{h-1}{(h-1)\cdot(\sqrt{h}+1)} }$



Simplifica os termos em comum no numerador e denominador:
(h-1)


$\displaystyle \mathsf{ \lim_{h \to 1} ~\frac{\diagup\!\!\!h-\diagup\!\!\!\!1}{(\diagup\!\!\!h-\diagup\!\!\!1)\cdot(\sqrt{h}+1)} }\\\\\\\\\\\mathsf{ \lim_{h \to 1} ~\frac{1}{\sqrt{h}+1} ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1}+1 }~=~ \frac{1}{2} }\\\\\\\\\\\boxed{\mathsf{ \lim_{h \to 1} ~ \frac{\sqrt{h}-1}{h-1} ~=~ \frac{1}{2} }}$