Question

(DESAFIO) X e Y são os lados de um retângulo onde está inscrita uma circunferência que ocupa o máximo de espaço possível dentro do retângulo. Se X² + Y² = 41 e XY = 20, qual é a porcentagem da área do retângulo ocupada pela circunferência? Adote π = 3.

Answer 1

$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=41\\xy=20\end{cases}$

Isolando y na segunda equação:

$xy=20~~~\therefore~~~y=\dfrac{20}{x}$

Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

$y^{2}=\left(\dfrac{20}{x}\right)^{2}=\dfrac{400}{x^{2}}$

Substituindo na primeira equação:

$x^{2}+y^{2}=41\\\\\\x^{2}+\dfrac{400}{x^{2}}=41$

Multiplicando todos os membros por x²:

$x^{4}+400=41x^{2}\\x^{4}-41x^{2}+400=0\\(x^{2})^{2}-41x^{2}+400=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-41)^{2}-4\cdot1\cdot400\\\Delta=1681-1600\\\Delta=81\\\\x^{2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-41)\pm\sqrt{81}}{2\cdot1}=\dfrac{41\pm9}{2}$

Achando as raízes:

$(x')^{2}=\dfrac{41+9}{2}=25~~~\therefore~~~x'=5\\\\\\(x'')^{2}=\dfrac{41-9}{2}=16~~~\therefore~~~x''=4$

Se x for 5, descobrimos que y = 4
Se x for 4, descobrimos que y = 5

Portanto, as dimensões do retângulo são 4 e 5

Para que o círculo não escape do retângulo, o diâmetro desse círculo deve ser igual ao menor lado do retângulo:

$d=4\\2r=4\\r=2$

Achando a área do círculo:

$A_{c}=\pi\cdot r^{2}=3\cdot2^{2}=3\cdot4=12$

Achando a área do retângulo:

$A_{r}=5\cdot4=20$

Achando a porcentagem da área ocupada pelo círculo:

$\%=\dfrac{A_{c}}{A_{r}}\cdot100\%\\\\\\\%=\dfrac{12}{20}\cdot100\%\\\\\\\%=12\cdot5\%\\\\\\\boxed{\boxed{\%=60\%}}$