Question

desafio
Você consegue dizer, sem desenhar, qual é o número de vértices, arestas e
faces de um prisma com base dodecagonal e de um prisma com base ico-
sagonal? (Pesquise quantos lados têm um dodecágono e um icosagono.)​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Icosagono: Polígono de 20 lados.

Dodecagono: Polígono de 12 lados.

Devemos lembrar que um prisma é um políedro de bases congruentes e paralelas. Dessa forma termos um número de faces laterais igual ao número de arestas da base, além de de duas bases congruentes e paralelas. Colocando em uma equação teriamos:

${n}^{.} faces = 2 + {n}^{.} arestas \: da \: base$

- Para o prisma de base Dodecagonal:

N°faces = 2 + 12 = 14

- Para o prisma de base Icosagonal:

N°faces = 2 + 20 = 22

O número de vértices é duas vezes o número de arestas da base, o porquê disso? As laterais de um prisma são todas retangulares e as alturas desses retângulos são segmentos de retas que se ligam ao vértice da base de apoio ao vértice da base de topo. Veja uma figura de prisma para entender melhor

Assim:

N° de vértices do prisma da base dodecagonal:

2 × 12 = 24

N° de vértices do prisma de base Icosagonal:

2 × 20 = 40

O número de arestas podemos determinar usando a Relação de Euller:

$v + f = a + 2$

Em que:

V = número de vértices

f = número de faces

A = número de arestas

Dessa forma:

Para o prisma dodecagonal:

$24 + 14 = a + 2 \\ \\ 38 = a + 2 \\ \\ a = 36$

Para o prisma icosagonal:

$40 + 22 = a + 2 \\ \\ 62 = a + 2 \\ \\ a = 60$

Espero ter ajudado :/

Boa sorte!