Question

DESAFIO:

$3^{2x} - 34.(15^{x - 1}) + 5^{2x} = 0$

Answer 1

Resolver a equação:

$3^{2x}-34\cdot (15^{x-1})+5^{2x}=0$


Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar os dois lados da equação por $15:$

$15\cdot (3^{2x}-34\cdot (15^{x-1})+5^{2x})=0\\ \\ 15\cdot 3^{2x}-34\cdot (15^{x-1})\cdot 15+15\cdot 5^{2x}=0\\ \\ 15\cdot 3^{2x}-34\cdot (15^{x-1}\cdot 15)+15\cdot 5^{2x}=0\\ \\ 15\cdot 3^{2x}-34\cdot (15^{x-1+1})+15\cdot 5^{2x}=0\\ \\ 15\cdot 3^{2x}-34\cdot 15^{x}+15\cdot 5^{2x}=0\\ \\ 15\cdot 3^{2x}-34\cdot (3\cdot 5)^{x}+15\cdot 5^{2x}=0\\ \\ 15\cdot (3^{x})^{2}-34\cdot 3^{x}\cdot 5^{x}+15\cdot (5^{x})^{2}=0$


Fazendo a seguinte mudança de variável

$\left\{\begin{array}{c} 3^{x}=p\\ 5^{x}=q \end{array} \right.$


a equação fica:

$15p^{2}-34pq+15q^{2}=0$


Para facilitar a fatoração do polinômio do lado esquerdo, reescrevemos $-34pq$ como $-9pq-25pq:$

(Poderia fatorar também, resolvendo a equação por Bháskara para uma das variáveis $p$ ou $q,$ mas prefiro abreviar a resolução)


Então, temos

$15p^{2}-9pq-25pq+15q^{2}=0\\ \\ (15p^{2}-9pq)+(-25pq+15q^{2})=0\\ \\ 3p\cdot (5p-3q)-5q\cdot (5p-3q)=0$


Colocando o fator comum $(5p-3q)$ em evidência:

$(5p-3q)\cdot (3p-5q)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} 5p-3q=0&\,\text{ ou }\,&3p-5q=0\\ \\ 5p=3q&\,\text{ ou }\,&3p=5q\\ \\ \end{array}$


Substituindo de volta para a variável $x:$

$\begin{array}{rcl} 5\cdot 3^{x}=3\cdot 5^{x}&\,\text{ ou }\,&3\cdot 3^{x}=5\cdot 5^{x}\\ \\ \dfrac{3^{x}}{5^{x}}=\dfrac{3}{5}&\,\text{ ou }\,&\dfrac{3^{x}}{5^{x}}=\dfrac{5}{3}\\ \\ \left(\dfrac{3}{5} \right )^{x}=\left(\dfrac{3}{5} \right )^{1}&\,\text{ ou }\,&\left(\dfrac{3}{5} \right )^{x}=\left(\dfrac{3}{5} \right)^{-1} \end{array}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=1&\,\text{ ou }\,&x=-1 \end{array}}$


O conjunto solução é

$S=\{-1,\;1\}$