Matemática, perguntado por Exincentro, 11 meses atrás

(Desafio) Seja ABC um triângulo qualquer e P, um ponto interno qualquer. Prove que a soma PA + PB + PC é maior que o semiperímetro e menor que o perímetro do triângulo.

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
5

Bom dia!

Comentário inicial: Para ter um melhor entendimento sugiro que veja a resolução escrita que foi anexada.

A ideia nesse problema é usar a desigualdade triangular e o teorema da envolvente. Veja que pela desigualdade triangular temos que:

AB < PA + PB

BC < PB + PC

AC < PA + PC

Somando as inequações temos:

AB + BC + AC <2(PA+PB+PC)

Daí, pela lei do corte-produto segue que:

\frac{AB+BC+AC}{2} < PA + PB + PC

O que então prova que o semiperímetro ( \frac{AB+AC+BC}{2}) é menor que PA+PB+PC

Agora para provarmos que PA + PB + PC é menor que o perímetro do triângulo ABC, usaremos o teorema da envolvente.

Veja que como P é um ponto interno ao triângulo ABC, a região que o triângulo APB define está contida na região definida pelo triângulo ACB, daí temos que PA + PB < AC + BC de forma análoga para os demais triângulos, temos que:

PA + PB < AC + BC

PA + PC < AB + BC

PB + PC < AB + AC

Somando as inequações temos:

2(PA+PB+PC)<2(AB+AC+BC)

Daí, pela lei do corte-produto temos:

PA+PB+PC<AB+AC+BC

O que finaliza o processo probatório.


Espero ter ajudado. Caso tenha dúvidas quanto a resolução, fique a vontade para me perguntar!




Anexos:

Exincentro: valeu mano, ajudou bastante!
Usuário anônimo: Nada!!
Perguntas interessantes