(Desafio) Seja ABC um triângulo qualquer e P, um ponto interno qualquer. Prove que a soma PA + PB + PC é maior que o semiperímetro e menor que o perímetro do triângulo.
Soluções para a tarefa
Bom dia!
Comentário inicial: Para ter um melhor entendimento sugiro que veja a resolução escrita que foi anexada.
A ideia nesse problema é usar a desigualdade triangular e o teorema da envolvente. Veja que pela desigualdade triangular temos que:
Somando as inequações temos:
Daí, pela lei do corte-produto segue que:
O que então prova que o semiperímetro ( ) é menor que
Agora para provarmos que PA + PB + PC é menor que o perímetro do triângulo ABC, usaremos o teorema da envolvente.
Veja que como P é um ponto interno ao triângulo ABC, a região que o triângulo APB define está contida na região definida pelo triângulo ACB, daí temos que de forma análoga para os demais triângulos, temos que:
Somando as inequações temos:
Daí, pela lei do corte-produto temos:
O que finaliza o processo probatório.
Espero ter ajudado. Caso tenha dúvidas quanto a resolução, fique a vontade para me perguntar!