Question

(Desafio) Seja ABC um triângulo qualquer e P, um ponto interno qualquer. Prove que a soma PA + PB + PC é maior que o semiperímetro e menor que o perímetro do triângulo.

Answer 1

Bom dia!

Comentário inicial: Para ter um melhor entendimento sugiro que veja a resolução escrita que foi anexada.

A ideia nesse problema é usar a desigualdade triangular e o teorema da envolvente. Veja que pela desigualdade triangular temos que:

$AB < PA + PB$

$BC < PB + PC$

$AC < PA + PC$

Somando as inequações temos:

$AB + BC + AC <2(PA+PB+PC)$

Daí, pela lei do corte-produto segue que:

$\frac{AB+BC+AC}{2} < PA + PB + PC$

O que então prova que o semiperímetro ( $\frac{AB+AC+BC}{2}$) é menor que $PA+PB+PC$

Agora para provarmos que PA + PB + PC é menor que o perímetro do triângulo ABC, usaremos o teorema da envolvente.

Veja que como P é um ponto interno ao triângulo ABC, a região que o triângulo APB define está contida na região definida pelo triângulo ACB, daí temos que $PA + PB < AC + BC$ de forma análoga para os demais triângulos, temos que:

$PA + PB < AC + BC$

$PA + PC < AB + BC$

$PB + PC < AB + AC$

Somando as inequações temos:

$2(PA+PB+PC)<2(AB+AC+BC)$

Daí, pela lei do corte-produto temos:

$PA+PB+PC<AB+AC+BC$

O que finaliza o processo probatório.

Espero ter ajudado. Caso tenha dúvidas quanto a resolução, fique a vontade para me perguntar!