Question

[ DESAFIO ]
Se a,b,c,d,e e f são números positivos e reais, prove que: $\sqrt{ab} + \sqrt{cd} + \sqrt{ef} \leq \sqrt{(a+c+e)(b+d+f)}$

Answer 1

1ª maneira:

Lembramos que um número ao quadrado é sempre maior igual que zero. Assim, se x, y são reais positivos vale que:

$\left( \sqrt x - \sqrt y \right)^2 \geq 0 \implies x+y \geq \sqrt{xy}$   ( I )

Voltando ao problema, elevando a desigualdade ao quadrado (como os números são positivos não há nenhum problema), temos que

$\left( \sqrt{ab} + \sqrt{cd} + \sqrt{ef} \right)^2 \leq (a+c+e)(b+d+f) \Leftrightarrow$

$2 \sqrt{abcd} + 2 \sqrt{abef} + 2 \sqrt{cdfe} \leq ad + af + bc + cf + be + de$ ( II )

Agora usando a desigualdade ( I ) para x = ad, y = bc temos:

$ad + bc \geq 2 \sqrt{abcd}$

Para x = af, y = be temos:

$af + be \geq 2 \sqrt{abef}$

Para x = cf, y = de temos

$cf + de \geq 2 \sqrt{cdfe}$

Somando essas 3 desigualdades obtemos ( II ) e concluímos o problema.

2ª maneira:

Usaremos a desigualdade de Cauchy Schwarz. Considere os vetores u e v:

$u = \left( \sqrt a, \sqrt c, \sqrt e \right) \quad \quad \quad \qquad v = \left( \sqrt b, \sqrt d ,\sqrt f\right)$

Pela desigaldade de Cauchy Schwarz sabemos que

< u, v > ≤ |u| |v|

onde < u , v > denota o produto interno de u e v. Mas

$\langle u, v \rangle = \sqrt{ab} + \sqrt{cd} + \sqrt{ef}$

$|u| = \sqrt{a + c + e}$

$|v| = \sqrt{b+d+f}$

Assim concluímos o problema

3ª maneira:

Note que para números positivos vale:

$\sqrt{x_1y_1} + \sqrt{x_2y_2} \leq \sqrt{(x_1+x_2)(y_1+y_2)} \Leftrightarrow$   ( III )

$(\sqrt{x_1y_1} + \sqrt{x_2y_2} )^2\leq {(x_1+x_2)(y_1+y_2) \Leftrightarrow$

$2\sqrt{x_1x_2y_1y_2} \leq x_1y_2 + x_2y_1$ ( IV )

A desigualdade ( IV ) é verdadeira, pois é aplicação de ( I ) para x=x₁y₂ e y = x₂y₁. Portnato ( III ) é verdadeira.

Com isso voltando ao problema:

$E = \sqrt{ab} + \sqrt{cd} + \sqrt{ef}$

Aplicando ( III ) para x₁ = a,, x₂ = c, y₁ = b, y₂ = d temos:

$E \leq \sqrt{(a+c)(b+d)} + \sqrt{ef}$

Aplicando novamente  ( III ) para  x₁ = a+c, x₂ = e, y₁ = b+d, y₂ = f concluímos

$E = \sqrt{ab} + \sqrt{dc} + \sqrt{ef} \leq \sqrt{(a+c+e)(b+d+f)}$

Obs.: Com a terceira solução podemos provar por indução que para a₁, a₂, ..., aₙ, b₁, b₂, ..., bₙ positivos vale:

$\sqrt{a_1b_1} + \cdots + \sqrt{a_nb_n} \leq \sqrt{(a_1+ \cdots + a_n)(b_1+\cdots+b_n)}$

Também podemos provar isso diretamente usando o mesmo método da solução 2.

Answer 2

Resposta:

1ª maneira:

Lembramos que um número ao quadrado é sempre maior igual que zero. Assim, se x, y são reais positivos vale que:

\left( \sqrt x - \sqrt y \right)^2 \geq 0 \implies x+y \geq \sqrt{xy}(x−y)2≥0⟹x+y≥xy   ( I )

Voltando ao problema, elevando a desigualdade ao quadrado (como os números são positivos não há nenhum problema), temos que

\left( \sqrt{ab} + \sqrt{cd} + \sqrt{ef} \right)^2 \leq (a+c+e)(b+d+f) \Leftrightarrow(ab+cd+ef)2≤(a+c+e)(b+d+f)⇔

2 \sqrt{abcd} + 2 \sqrt{abef} + 2 \sqrt{cdfe} \leq ad + af + bc + cf + be + de2abcd+2abef+2cdfe≤ad+af+bc+cf+be+de ( II )

Agora usando a desigualdade ( I ) para x = ad, y = bc temos:

ad + bc \geq 2 \sqrt{abcd}ad+bc≥2abcd

Para x = af, y = be temos:

af + be \geq 2 \sqrt{abef}af+be≥2abef

Para x = cf, y = de temos

cf + de \geq 2 \sqrt{cdfe}cf+de≥2cdfe

Somando essas 3 desigualdades obtemos ( II ) e concluímos o problema.

2ª maneira:

Usaremos a desigualdade de Cauchy Schwarz. Considere os vetores u e v:

u = \left( \sqrt a, \sqrt c, \sqrt e \right) \quad \quad \quad \qquad v = \left( \sqrt b, \sqrt d ,\sqrt f\right)u=(a,c,e)v=(b,d,f)

Pela desigaldade de Cauchy Schwarz sabemos que

< u, v > ≤ |u| |v|

onde < u , v > denota o produto interno de u e v. Mas

\langle u, v \rangle = \sqrt{ab} + \sqrt{cd} + \sqrt{ef}⟨u,v⟩=ab+cd+ef

|u| = \sqrt{a + c + e}∣u∣=a+c+e

|v| = \sqrt{b+d+f}∣v∣=b+d+f

Assim concluímos o problema

3ª maneira:

Note que para números positivos vale:

\sqrt{x_1y_1} + \sqrt{x_2y_2} \leq \sqrt{(x_1+x_2)(y_1+y_2)} \Leftrightarrowx1y1+x2y2≤(x1+x2)(y1+y2)⇔   ( III )

(\sqrt{x_1y_1} + \sqrt{x_2y_2} )^2\leq {(x_1+x_2)(y_1+y_2) \Leftrightarrow

2\sqrt{x_1x_2y_1y_2} \leq x_1y_2 + x_2y_12x1x2y1y2≤x1y2+x2y1 ( IV )

A desigualdade ( IV ) é verdadeira, pois é aplicação de ( I ) para x=x₁y₂ e y = x₂y₁. Portnato ( III ) é verdadeira.

Com isso voltando ao problema:

E = \sqrt{ab} + \sqrt{cd} + \sqrt{ef}

Explicação passo-a-passo:

espero ter ajudado.