Question

(Desafio) Observe a figura abaixo e responda:

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Sobre o triângulo acima, sabe-se que:

O ângulo B = ângulo C = 30º;

O ponto Ba é o baricentro deste triângulo;

Os segmentos de reta tracejados são medianas, ou seja, dividem os lados que as tocam em 2 partes iguais (mas não se sabe se os segmentos AB, BC e AC são iguais); e

O segmento BC = 18.√3 centímetros.

Calcule a área pintada em cinza.

Observação: Calcule e deixe a resposta em função de √3. Sem aproximar valores.

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

Como os ângulos da base são iguais, podemos inferir que ABC se trata de um triângulo isósceles.

$\mathsf{B = C = 30\textdegree}$

$\mathsf{A = 180 - 60 = 120\textdegree}$

$\mathsf{\dfrac{\overline{\rm BC}}{sen\:120\textdegree} = \dfrac{\overline{\rm AC}}{sen\:30\textdegree}}$

$\mathsf{\dfrac{18\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\overline{\rm AC}}{\dfrac{1}{2}}}$

$\mathsf{2\overline{\rm AC} = 36}$

$\mathsf{\overline{\rm AC} = \overline{\rm AB} = 18\:cm}$

$\mathsf{(\overline{\rm AC})^2 =(\overline{\rm AM})^2 + (\overline{\rm CM})^2}$

$\mathsf{(\overline{\rm AM})^2 = (\overline{\rm AC})^2 - (\overline{\rm CM})^2}$

$\mathsf{(\overline{\rm AM})^2 =(18)^2 - (9\sqrt{3})^2}$

$\mathsf{(\overline{\rm AM})^2 =324 - 243}$

$\mathsf{(\overline{\rm AM})^2 = 81}$

$\mathsf{\overline{\rm AM} = 9\:cm}$

$\mathsf{\overline{\rm AB_A} = \dfrac{2 \times \overline{\rm AM}}{3}}$

$\mathsf{\overline{\rm AB_A} = \dfrac{2 \times 9}{3}}$

$\mathsf{\overline{\rm AB_A} = \dfrac{18}{3}}$

$\mathsf{\overline{\rm AB_A} = 6\:cm}$

$\mathsf{A = 2 \times \dfrac{1}{2} \times \overline{\rm AB_A} \times \dfrac{\overline{\rm AC}}{2} \times sen\:60\textdegree }$

$\mathsf{A = 2 \times \dfrac{1}{2} \times 6 \times 9 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} }$

$\mathsf{A = \dfrac{54\sqrt{3}}{2} }$

$\boxed{\boxed{\mathsf{A = 27\sqrt{3}\:cm^2}}}$