Question

DESAFIO NÍVEL IME



Se k+1/k =3 e k^3+ 1/k^3= p , então o valor do log (k^12+2k^6+1)/k^6 na base 2/36 é:
a) 1
b) -1
c) 0
d)2
e)-2

Answer 1

Primeiramente, devemos simplificar a expressão do logaritmando o máximo que conseguirmos. Assim, começando pelo numerador, tem-se:

$k^{12} + 2k^6 + 1 = (k^{6})^2 + 2.k^6.1 + 1^2 = \boxed{(k^6+1)^2}$

Sabemos que p pode ser reescrito como:

$p = k^3 + \frac{1}{k^3} = \boxed{p = \tfrac{k^6+1}{k^3}}$

Então, ficamos com:

$log_\frac{2}{36}\frac{k^{12}+2.k^6+1}{k^6} = log_\frac{2}{36}\frac{(k^6+1)^2}{k^6} = log_\frac{2}{36}(\frac{(k^6+1)}{k^3})^2= \\\\2.log_\frac{2}{36} (\frac{(k^6+1)}{k^3}) = \boxed{2.log_\frac{2}{36} p}$

Reescrevendo p:

$p = k^3 + \frac{1}{k^3} = (k)^3 + (\frac{1}{k})^3 \Rightarrow \\\\(k+\tfrac{1}{k}).(k^2-k.\tfrac{1}{k}+\tfrac{1}{k^2}) = \boxed{(k+\tfrac{1}{k}).(k^2-1+\tfrac{1}{k^2})}~(i)$

Além disso, podemos reescrever:

$k + \frac{1}{k} = 3 \Leftrightarrow (k + \frac{1}{k})^2 = (3 )^2 \Rightarrow k^2 + 2.k.\frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} = 9 \Rightarrow k^2 + 2 + \frac{1}{k^2} = 9\\\\\Rightarrow \boxed{k^2 - 1 + \tfrac{1}{k^2} = 6}~(ii)$

Logo, substituindo em (i), (ii), temos:

$p = 3.(k^2 - 1 + \frac{1}{k^2}) = 3.6 = 18 \Rightarrow \boxed{p = 18}$

Então:

$2.log_\frac{2}{36}p = 2.log_\frac{1}{18}18 = 2.log_{18^{-1}} 18 = \frac{2}{-1}.log_{18}18 = -2.1 = \boxed{\boxed{\boxed{-2}}}$

Resposta: Letra E)

Answer 2

Resposta: -2 (E)

Explicação passo-a-passo:

Coloquei uma imagem, logo abaixo como fiz.

Vc poderia descobrir uma relação da primeira expressão com a segunda, obtendo rapidamente que p=18; Logo após descobrir p, vc simplifica a expressão do logaritimando, obtendo p². Simplificando a base do logaritmo chega 1/18[=(2/36)] . Portanto, resolvendo o logaritmo, chegamos na solução -2