Question

DESAFIO.. ME AJUDEM..
Qual é o menor valor positivo de α (0 ≤ α ≤ 360°), para qual o sistema
(senα)x-y=0
x+(4cosα)y=0
tem mais de uma solução?

Answer 1

i) Como os termos independentes do sistema, os números à direita da igualdade, são todos 0 a regra de Cramer afirma que o sistema terá solução única, a trivial, se D≠0, onde D é o determinante da matriz dos coeficientes; se D=0 teremos infinitas soluções. Calculando D e igualando-o a 0 temos:

$D= \left|\begin{array}{cc}\mathrm{sen} \hspace{0,5mm} \alpha&-1\\1&4\cos\alpha\end{array}\right| = 0 \Rightarrow 4\mathrm{sen}\hspace{0,5mm}\alpha.\cos\alpha+1=0\Rightarrow2\mathrm{sen}\hspace{0,5mm}(2\alpha)=-1 \\ \\ \mathrm{sen}\hspace{0,5mm}(2\alpha)=\frac{-1}{2} \Rightarrow 2\alpha=210+360n \ \mathrm{ou} \ 2\alpha=330+360n, \ n\in\mathbb{Z} \\ \\ \boxed{\alpha=105+180n} \ \mathrm{ou} \ \boxed{\alpha=165+180n}, \ n\in\mathbb{Z}$

ii) Agora temos infinitos valores de α para os quais D=0, mas queremos apenas o menor deles entre 0 e 360°, então basta fazermos n=0 na primeira expressão encontrada acima:

R: α = 105°