Question

(Desafio) Equação exponencial

2^(x+3) + 2^(x+2) + 2^(x+1) = 7^x + 7^(x-1)

Answer 1

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Resolver a equação exponencial:

$\mathsf{2^{x+3}+2^{x+2}+2^{x+1}=7^x+7^{x-1}}\\\\ \mathsf{2^x\cdot 2^3+2^x\cdot 2^2+2^x\cdot 2=7^x+7^x\cdot 7^{-1}}\\\\ \mathsf{2^x\cdot 8+2^x\cdot 4+2^x\cdot 2=7^x+7^x\cdot \dfrac{1}{7}}\\\\\\ \mathsf{2^x\cdot (8+4+2)=7^x\cdot \left(1+\dfrac{1}{7}\right)}\\\\\\ \mathsf{2^x\cdot 14=7^x\cdot \dfrac{8}{7}}$


Multiplique os dois lados por  $\mathsf{7^{-x}>0,}$  e a equação fica

$\mathsf{7^{-x}\cdot 2^x\cdot 14=7^{-x}\cdot 7^x\cdot \dfrac{8}{7}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2^x}{7^x}\cdot 14=\dfrac{8}{7}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2^x}{7^x}=\dfrac{8}{7}\cdot \dfrac{1}{14}}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{2}{7}\right)^x=\dfrac{8}{98}}$

$\mathsf{\left(\dfrac{2}{7}\right)^x=\dfrac{4}{49}}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{2}{7}\right)^x=\dfrac{2^2}{7^2}}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{2}{7}\right)^x=\left(\dfrac{2}{7}\right)^2}$


Agora temos uma igualdade entre exponenciais de mesma base. É só igualar os expoentes:

$\mathsf{x=2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{solu\c{c}\~ao.}$


Bons estudos! :-)