Question

(Desafio): Determine quantos anagramas podemos formar com a palavra MACKENZIE, de maneira que todos os anagramas formados iniciem-se com vogal.


*Qualquer tipo de brincadeira ou mesmo respostas erradas, serão denunciadas.*

Answer 1

Resposta:

MACKENZIE  .....são 9 letras e duas repetições (2 E)

são vogais AEIE

4*8!/2! = 80.640  anagramas

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\mathtt{80.640}}$

Explicação passo-a-passo:

Separei a resolução em três situações, veja:

Situação I: o anagrama começa com a vogal A.

=> decisão 1 (d1): colocar a letra A no início. Assim, temos que: $\displaystyle \mathsf{\# d_1 = 1}$;

=> decisão 2 (d2): permutar as demais letras. $\displaystyle \mathsf{\# d_2 = P_8^2}$

Daí, pelo Princípio Fundamental da Contagem:

$\displaystyle \mathsf{\# d_1 \cdot \# d_2 = 1 \cdot P_8^2 = \frac{8!}{2!}}$

Situação II: o anagrama começa com a vogal E.

=> decisão 1 (d1): colocar a letra E no início. Assim, temos que: $\displaystyle \mathsf{\# d_1 = 1}$;

=> decisão 2 (d2): permutar as demais letras. $\displaystyle \mathsf{\# d_2 = P_8}$

Daí, pelo PFC:

$\displaystyle \mathsf{\# d_1 \cdot \# d_2 = 1 \cdot P_8 = 8!}$

Situação III: o anagrama começa com a vogal I.

=> decisão 1 (d1): colocar a letra I no início. Assim, temos que: $\displaystyle \mathsf{\# d_1 = 1}$;

=> decisão 2 (d2): permutar as demais letras. $\displaystyle \mathsf{\# d_2 = P_8^2}$

Daí, pelo Princípio Fundamental da Contagem:

$\displaystyle \mathsf{\# d_1 \cdot \# d_2 = 1 \cdot P_8^2 = \frac{8!}{2!}}$

Por fim, pelo Princípio Aditivo,

$\\ \displaystyle \mathsf{(\# d_1 \cdot \# d_2) + (\# d_1 \cdot \# d_2) + (\# d_1 \cdot \# d_2) = \frac{8!}{2!} + 8! + \frac{8!}{2!}} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \, \quad = 8! \cdot \left ( \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} \right )} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \, \quad = 8! \cdot \left (1 + 1 \right )} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \, \quad = \boxed{\boxed{\mathtt{2 \cdot 8!}}}}$