Question

DESAFIO DE TRIGONOMETRIA.
Considere f(x) =tan²x+2sec²x e resolva a equação f(x)=11 para para -2pi ≤ x≤ 2pi e x∈Dom(f)

Answer 1

 f(x) =tan²x+2sec²x

$f(x) = \frac{sen^2x}{cos^2x} + \frac{2}{cos^2x}$

Sendo sen²x + cos²x = 1

Então

$f(x) = \frac{1-cos^2x}{cos^2x} + \frac{2}{cos^2x} = \frac{3-cos^2x}{cos^2x}$

Substituindo

y = cos²x

Temos

$f(y) = \frac{3-y}{y}$

Se f(y) = 11, então

$11=\frac{3-y}{y} \\ \\ 11y = 3 - y \\ \\ 12y = 3 \\ \\ y = \frac{1}{4}$

Então

cos²x = 1/4
cosx = 1/2 ou cosx = -1/2

No domínio de -2pi ≤ x≤ 2pi ou -360 ≤ x≤ 360
Para cosx = 1/2, temos x = -300, x = -60, x = 60° e x = 300°
Para cosx = -1/2 temos x = -240, x = -120, x = 120° e x = 240°

S = {-300°,-240°,-120°,-60°,60°,120°,240°,300°}

Normalmente o limite é entre 0 e 2pi que elimina os negativos da resposta

Answer 2

f(x) = tg²(x) + 2sec²(x)


Para f(x) = 11:

tg²(x) + 2sec²(x) = 11


Há uma relação trigonométrica que diz:

sec²(x) = 1 + tg²(x)


Substituindo esse valor na equação f(x), temos:

tg²(x) + 2sec²(x) = 11
tg²(x) + 2(1 + tg²(x)) = 11
tg²(x) + 2 + 2tg²(x) = 11
tg²(x) + 2tg²(x) = 11 - 2
3tg²(x) = 9
tg²(x) = 9/3
tg²(x) = 3
tg(x) = +-√3


Para tg(x) = √3:

x = arctg(√3)
x = 60º e/ou 240º 


Para tg(x) = -√3:

x = arctg(-√3)
x = 120º e/ou 300º 


S = {60º, 120º, 240º, 300º}