Question

desafio :.


dado p(x)=> x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f um polinômio tal que p(1)= 1 ,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=4,p(5)=5 e p(6)=6. quanto vale p(7)?

* DESAFIO, VALENDO {:.15PTS:.}

Answer 1

Primeiro, vejamos:

$P(1)=1\iff P(1)-1=0\\\\ P(2)=2\iff P(2)-2=0\\\\ \vdots\\\\ P(6)=6\iff P(6)-6=0$

Note que, para x={1, 2, ..., 6} a expressão P(x)-x é nula. Assim, tome Q(x) tal que $Q(x)=P(x)-x$. Veja que fazendo isso obtemos um polinômio também de grau 6 que possui 1, 2, 3, 4, 5 e 6 como raízes. Isto é, por outro lado, temos:

$Q(x)=A(x-x_1)(x-x_2)\cdot...\cdot(x-x_6)\\\\ Q(x)=A(x-1)(x-2)\cdot...\cdot(x-6)$

O coeficiente A é o mesmo que o coeficiente líder do polinômio Q(x), que é o coeficiente do termo x⁶. Como o coeficiente de x⁶ é o mesmo em Q(x) e P(x) (é simples notar que muda apenas o coeficiente de x¹), que é 1, temos que A=1. Assim, definimos o polinômio P(x):

$P(x)-x=Q(x)\\\\ P(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)\\\\ P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+x$

Agora podemos determinar P(7):

$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+x\\\\ P(7)=(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)(7-6)+7\\\\ P(7)=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1+7\\\\ P(7)=720+7\\\\ \boxed{\boxed{P(7)=727}}$