Question

[ DESAFIO 50 PTS ] Encontre o valor da expressão abaixo:
$\dfrac{2^2}{2^2-1} \cdot \dfrac{3^2}{3^2-1} \cdot \dfrac{4^2}{4^2-1} \cdots \dfrac{2006^2}{2006^2-1}$

Resposta completa e com os cálculos.

Answer 1

É só fatorar e ver que os termos se cancelam. Outra maneira é ver que o produto é telescópico. De fato, seja

$f(n) = \dfrac{n}{n-1}$

Assim, notamos que

$\dfrac{n^2}{n^2-1} = \dfrac{n^2}{(n-1)(n+1)} = \dfrac{n}{n-1} \times\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{\dfrac{n}{n-1}}{\,\dfrac{n+1}{n}\,} = \dfrac{f(n)}{f(n+1)}$

Logo, o produto que queremos calcular é

$P = \dfrac{2^2}{2^2-1}\times \dfrac{3^2}{3^2-1} \times \cdots \times \dfrac{2006^2}{2006^2-1}$

$P = \dfrac{f(2)}{f(3)}\times \dfrac{f(3)}{f(4)} \times\dfrac{f(4)}{f(5)} \times\cdots \times \dfrac{f(2006)}{f(2007)}$

Portanto:

$P = \dfrac{f(2)}{f(2007)} = \dfrac{2/1}{2007/2006} \implies \boxed{P=\dfrac{4012}{2007}}$

Resposta:

O valor da expressão é 4012/2007

Answer 2

Resposta:

O valor é 4012/2007

Explicação passo-a-passo:

pq se vc dividir vai achar o resultado