Question

DESAFIO:

(50 pontos) Resolva a seguinte equação biquadrada:

$((7!)*x^4) + ((5!)*x^2) -3 = 0$

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \textsf{Resolver a equa\c{c}\~ao}\\\\ \mathsf{7!\cdot x^4+5!\cdot x^2-3=0}\\\\ \mathsf{7!\cdot (x^2)^2+5!\cdot x^2-3=0}\\\\\\ \textsf{Fa\c{c}a a seguinte mudan\c{c}a de vari\'avel}\\\\ \mathsf{x^2=t\quad(t\ge 0)}\\\\\\ \textsf{e a equa\c{c}\~ao fica}\\\\ \mathsf{7!\cdot t^2+5!\cdot t-3=0}\quad\Rightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{a=7!}\\\mathsf{b=5!}\\\mathsf{c=-3} \end{array} \right. \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(5!)^2-4\cdot 7!\cdot (-3)}\\\\ \mathsf{\Delta=(5!)^2+12\cdot 7!}\\\\ \mathsf{\Delta=5!\cdot 5!+12\cdot 7!}\\\\ \mathsf{\Delta=5!\cdot 5!+12\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}\\\\ \mathsf{\Delta=5!\cdot (5!+12\cdot 7\cdot 6)}\\\\ \mathsf{\Delta=5!\cdot (120+504)}\\\\ \mathsf{\Delta=5!\cdot 624} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{\Delta=120\cdot 2^4\cdot 3\cdot 13}\\\\ \mathsf{\Delta=(2^3\cdot 3\cdot 5)\cdot 2^4\cdot 3\cdot 13}\\\\ \mathsf{\Delta=2^{3+4}\cdot 3\cdot 5 \cdot 3\cdot 13}\\\\ \mathsf{\Delta=2^7\cdot 3^2\cdot 5 \cdot 13} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{\Delta=2^{6+1}\cdot 3^2\cdot 5 \cdot 13}\\\\ \mathsf{\Delta=2^{6}\cdot 2\cdot 3^2\cdot 5 \cdot 13}\\\\ \mathsf{\Delta=2^{3\,\cdot\,2}\cdot 3^2\cdot 2\cdot 5 \cdot 13}\\\\ \mathsf{\Delta=(2^3\cdot 3)^2\cdot 2\cdot 5 \cdot 13}\\\\ \mathsf{\Delta=(2^3\cdot 3)^2\cdot 130} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \mathsf{t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-(5!)\pm \sqrt{(2^3\cdot 3)^2\cdot 130}}{2\cdot 7!}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-120\pm 2^3\cdot 3\sqrt{130}}{2\cdot 7!}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-2^3\cdot 3\cdot 5\pm 2^3\cdot 3\sqrt{130}}{2\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{2^3\cdot 3\cdot \big(\!\!-5\pm \sqrt{130}\big)}{2\cdot 4\cdot 7\cdot (2\cdot 3)\cdot 5\cdot 3!}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{2^3\cdot 3\cdot \big(\!\!-5\pm \sqrt{130}\big)}{2\cdot 2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 2\cdot 5\cdot 3!}} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{t=\dfrac{(2^3\cdot 3)\cdot \big(\!\!-5\pm \sqrt{130}\big)}{(2^3\cdot 3)\cdot 7\cdot 2\cdot 5\cdot 3!}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-5\pm \sqrt{130}}{7\cdot 2\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-5\pm \sqrt{130}}{2^2\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-5\pm \sqrt{130}}{2^2\cdot 105}} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \begin{array}{rcl} \mathsf{t=\dfrac{-5+\sqrt{130}}{2^2\cdot 105}}&~\textsf{ ou }~& \end{array} \mathsf{t=\dfrac{-5-\sqrt{130}}{2^2\cdot 105}}\quad\textsf{(n\~ao serve, pois }\mathsf{t\ge 0}\textsf{)}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-5+\sqrt{130}}{2^2\cdot 105}} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Substitua de volta para a vari\'avel x:}\\\\\mathsf{x^2=t:}\\\\ \mathsf{x^2=\dfrac{-5+\sqrt{130}}{2^2\cdot 105}}\\\\ \mathsf{x=\pm \sqrt{\dfrac{-5+\sqrt{130}}{2^2\cdot 105}}}\\\\ \mathsf{x=\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{-5+\sqrt{130}}{105}}}\\\\ \boxed{\begin{array}{rcl} \mathsf{x=-\,\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{-5+\sqrt{130}}{105}}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{-5+\sqrt{130}}{105}}} \end{array}} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Conjunto solu\c{c}\~ao: }\mathsf{S=\left\{-\,\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-5+\sqrt{130}}{105}},\,\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-5+\sqrt{130}}{105}}\right\}.} \end{array}$


Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/7434615


$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags: resolver equação biquadrada fatorial báscara solução