(DESAFIO 106) A partir de um cubo de aresta 1, inscreve-se uma esfera; nessa esfera inscreve-se um novo cubo e neste, uma nova esfera. Repetindo essa operação indefinidamente, a soma das áreas totais desses cubos é igual a
A)7.
B)8.
C)9.
D)10.
E)11.
=>ALTERNATIVA CORRETA = (C)
=> Qualquer brincadeira, resposta incompleta ou errada será reportado.
=> Dê uma resolução clara
Soluções para a tarefa
Resposta:
9
Explicação passo-a-passo:
A área do primeiro será
1²*6
6
No segundo temos que a diagonal do cubo será igual ao diâmetro da esfera(1)
1²=l√2²+l²
1²=l²*2+l²
1²=3l²
1=3l²
l²=1/3
L=√1/3
L=√3/3
Já a área será
(√3/3)²*6
3/9*6
18/9
2
Razão=>2/6=>1/3
S=a1/1-q
S=6/1-1/3
S=6/2/3
S=18/2
S=9
A soma das áreas totais desses cubos é igual a 9, alternativa C.
Progressão geométrica
O termo geral da P.G. é dado por aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, sendo q a razão calculada por q = aₙ₊₁/aₙ.
Seja o primeiro cubo de aresta medindo 1, a esfera inscrita tem diâmetro igual à aresta. O cubo inscrito nesta esfera têm diagonal igual ao diâmetro da esfera, logo:
d = a√3
1 = a√3
a = √3/3
Esta é também o diâmetro da esfera inscrita que, por sua vez, será a diagonal do cubo inscrito e assim por diante. As áreas desses cubos são:
a₁ = 6·1² = 6
a₂ = 6·(√3/3)² = 2
Forma-se então uma PG de razão 1/3.
A soma dos infinitos termos dessa PG será:
Sₙ = a₁/(1 - q)
Sₙ = 6/(1 - 1/3)
Sₙ = 6/(2/3)
Sₙ = 9
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