Question

Derive usando a Regra da Cadeia



f(x) = (x² + 1)³

Answer 1

A derivada da função $\mathsf{(x^2+1)^3}$ é $\mathsf{6x(x^2+1)^2.}$

Explicação

Inicialmente, vamos relembrar a Regra da Cadeia.

Sejam duas funções $\mathsf{f: A \to B}$ dada por $\mathsf{y=f(x)}$ e $\mathsf{g: B \to C}$ dada por $\mathsf{z=g(y).}$ Desse modo, existe a função composta $\mathsf{F: A\to C}$ cuja lei é $\mathsf{z=g(f(x)).}$ De acordo com a Regra da Cadeia, se f é derivável no ponto x e g é derivável no ponto y = f(x), então F também é derivável em x e sua derivada é dada por:

$\boxed{\mathsf{\frac{d}{dx}[F(x)]=\frac{d}{dx}[g(f(x))]\cdot\frac{d}{dx}[f(x)]}}$

Desse modo, tem-se:

$\displaystyle\mathsf{\frac{d}{dx}\left[(x^2+1)^3\right]=}\\\\\\\mathsf{=3(x^2+1)^2\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2+1)=}\\\\\\\mathsf{=3(x^2+1)^2\cdot\left[\dfrac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(1)\right]=}\\\\\\\mathsf{=3(x^2+1)^2\cdot(2x+0)=}\\\\\\\mathsf{=6x(x^2+1)^2}$

Espero ter ajudado! :)