Question

derive
$y = \cot^{2}( \sin( \beta ))$
​

Answer 1

Temos a seguinte função

$\sf y = cotg {}^{2} ( sen( \beta ))$

A questão quer saber a derivada dessa função. Primeiramente vamos lembrar que:

$\sf cotg {}^{2} x =( cotgx) {}^{2}$

Ou seja, aquele expoente pode ficar desta maneira que foi citada acima, reescrevendo a expressão conforme o que foi dito:

$\sf y =( cotg(sen( \beta ))) {}^{2}$

Observe que temos uma função composta, ou seja, usaremos a regra da cadeia. Digamos que as funções sejam dadas por:

$\sf c = sen( \beta ) \: \: \: \: u = cotg(c) \: \: \: \: y = (u(c)) {}^{2}$

A regra da cadeia citada acima será dada pela multiplicação de tres derivadas, já que temos três funções dentro dessa única função "y":

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dc} . \frac{dc}{d \beta }$

Substituindo os dados nos seus devidos locais:

$\sf \frac{dy}{d \beta } = \frac{d}{du} (u(c)) {}^{2} . \frac{d}{dc} (cotg(c)). \frac{d}{d \beta } (sen( \beta )) \\ \\ \sf \frac{dy}{d \beta } = 2u(c).( - cossec {}^{2} (c)).(cos( \beta )) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Repondo as expressões que caracterizam u e c:

$\sf \frac{dy}{d \beta } = - 2cotg(c).cossec {}^{2} (c).cos( \beta ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf \frac{dy}{d \beta } = - 2cotg(sen( \beta )).cossec {}^{2} (sen( \beta )).cos( \beta )}}}$

Espero ter ajudado