Question

Derive: f(x) = x2 ex
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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{f'(x)=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para derivarmos a função $f(x)=x^2\cdot e^x$, devemos relembrar algumas técnicas.

Como podemos ver, esta função é um produto de duas outras funções, a potência $x^2$ e a exponencial $e^x$.

Lembre-se que: A derivada de um produto é calculada pela regra do produto, dada por $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)$.

Logo, derivando ambos os lados, teremos

$f'(x)=(x^2\cdot e^x)'$

Aplique a regra do produto

$f'(x)=(x^2)'\cdot e^x + x^2\cdot (e^x)'$

Sabemos que a derivada de uma potência é dada pela fórmula $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$, logo

$f'(x)=2\cdot x^{2-1}\cdot e^x + x^2\cdot (e^x)'$

Some os valores

$f'(x)=2\cdot x\cdot e^x + x^2\cdot (e^x)'$

Para derivarmos a função exponencial, demonstraremos seu resultado utilizando a definição.

Sabemos que a derivada de uma função pode ser descrita como o limite: $f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}$

Observe que substituindo uma função $g(x)=e^x$, teríamos

$g'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{e^{x+\Delta{x}}-e^x}{\Delta{x}}$

Então, lembrando das propriedades de potências de mesma base, reescrevemos $e^{x+\Delta{x}}=e^{x}\cdot e^{\Delta{x}}$, dessa forma

$g'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{e^{x}\cdot e^{\Delta{x}}-e^x}{\Delta{x}}$

Podemos fatorar $e^x$ como fator comum em evidência

$g'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{e^{x}\cdot(e^{\Delta{x}}-1)}{\Delta{x}}$

Como o limite se trata do comportamento de $\Delta{x}$, retiramos $e^x$ do limite como uma constante:

$g'(x)=e^x\cdot \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{e^{\Delta{x}}-1}{\Delta{x}}$

Fazendo uma substituição $u=e^{\Delta{x}}-1$, podemos reescrever o limite.

Porém, devemos substituir o valor de $\Delta{x}$ em função de $u$, logo isolamos $e^{\Delta{x}$ somando $1$ em ambos os lados da equação:

$e^{\Delta{x}}=u+1$

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação

$\ln(e^{\Delta{x}})=\ln(u+1)$

Pela propriedade de logaritmos, fazemos

$\Delta{x}\cdot\ln(e)=\ln(u+1)$

Sabendo que a base do logaritmo natural é o número $e$, temos

$\Delta{x}=\ln(u+1)$

Veja também que quando $\Delta{x}\rightarrow 0$, $u\rightarrow0$, logo nosso limite se torna

$g'(x)=e^x\cdot \underset{u\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{u}{\ln(u+1)}$

Este limite pode ser calculado a partir do Teorema do confronto. Observe que $\ln(u+1)$ está limitada ao intervalo $\displaystyle{\left]-1,~0[~\cup~\left]0,~\infty\right[}$ e ambas as funções convergem para o mesmo ponto $(0)$. Logo, o resultado deste limite é igual a 1.

Dessa forma, demonstramos que a derivada da função exponencial é:

$g'(x)=e^x$

Substituindo isto na nossa derivada, teremos:

$f'(x)=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x~~\checkmark$

Esta é a derivada da nossa função.