Question

Derive as funcções abaixo.

Answer 1

$f(x)=x*e^{-kx}$

 lembrando que a derivada de 
$\boxed{e^u = e^u *u'}$


usando a regra do produto
$\boxed{(U*V)=U'*V+U*V'}$

$U = x\\\\U'=1\\\\V=e^{-kx}\\\\V'=e^{-kx}*(-k)$


colocando na regra do produto
$f'(x)=1*e^{-kx}+x*(-k*e^{-kx})\\\\\boxed{f'(x)=e^{-kx}*(1-kx)}$

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na B é o mesmo processo, mas para encontrar u' tu usa a regra do produto
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C)
$f(\theta)=cos(sen^2(\theta))$

lembrando que as derivadasde
$\boxed{u^n = n*u^{n-1}*u'}$

$\boxed{cos(u) = -sen(u)*u'}$

$\boxed{sen(u)=cos(u)*u'}$

temos 
primeiro usa a regra da derivada do cosseno
neste caso 
$u=[sen(\theta)]^2\\\\u'=2*[sen(\theta)]^{2-1}*cos(\theta)$

ficando
$\boxed{f'(\theta)=-sen(sen^2(\theta))*2*sen(\theta)*cos(\theta)}$

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$y= (\frac{x^2+1}{x^2-1}) ^2$

fazendo a substituição 

$u = (\frac{x^2+1}{x^2-1})\\\\\text{entao }y=u^2\\\\\\\boxed{y'=2*u*u'}$

para encontrar u' tem que usar a regra do quociente
$\boxed{( \frac{A}{B})'= \frac{A'*B-A*B'}{B^2} }$

temos
A= x²+1
A' = 2x

B = x²-1
B' = 2x

o u' fica
$U'= \frac{2x*(x^2-1) -(x^2+1)*2x}{(x^2-1)^2} \\\\U'= \frac{2x[(x^2-1) -(x^2+1)]}{(x^2-1)^2} \\\\U'= \frac{2x*[-2]}{(x^2-1)^2} \\\\U'= \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$

e como
$y'=2*u*u'\\\\y'=2* \frac{x^2+1}{x^2-1} * \frac{-4x}{(x^2-1)^2} \\\\\boxed{y'= \frac{-8x*(x^2+1)}{(x^2-1)^3} }$