Question

Derive a função:
$f(x)=\sqrt{X}*lnX$

Quero saber como chego a essa resposta:

$f'(X) = \frac{1}{ \sqrt{x} \\ } (1+ \frac{1}{2} ln X)$

Answer 1

Basta lembrar da regra do produto:

Sejam F(x) = f(x) . g(x)

F ' (x) = f '(x) . g(x) + f(x). g '(x)

Resolvendo:

$f(x) = \sqrt{x} .ln(x) \\ \\ f'(x) = \frac{d( \sqrt{x})}{dx} . ln(x) + \sqrt{x}.\frac{d( ln(x))}{dx} \\ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} } . ln(x) + \sqrt{x} . \frac{1}{x} \\ f'(x) = \frac{ln(x)}{2 \sqrt{x} } + \frac{ \sqrt{x} }{x}$

Até aqui, já derivamos. Agora vamos manipular para chegar onde você quer:

$f'(x)=\frac{ln(x)}{2 \sqrt{x} } + \frac{ \sqrt{x} }{x} \\ \\ f'(x) = \frac{xln(x) + 2x}{2x \sqrt{x} } \\ \\ f'(x) = \frac{x (ln(x) + 2)}{2x \sqrt{x}} \\ \\ f'(x) = \frac{ln(x) + 2}{2 \sqrt{x} } \\ \\ f'(x) = \frac{ln(x)}{2 \sqrt{x} } + \frac{2}{2 \sqrt{x} } \\ \\ f'(x) = \frac{ln(x)}{2 \sqrt{x} } + \frac{1}{ \sqrt{x} } \\ \\ f'(x) = \frac{1}{ \sqrt{x} } .( \frac{1}{2}ln(x) + 1 )$

E assim chegamos.