Question

Derive a função f(x) = tan \frac{1}{x}

Answer 1

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada desta função, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a função $f(x)=\tan\left(\dfrac{1}{x}\right)$.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$(f(x))'=\left(\tan\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)'$

Para calcularmos esta derivada, lembre-se:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia

$f'(x)=\left(\dfrac{1}{x}\right)'\cdot(\tan)'\left(\dfrac{1}{x}\right)$

Calcule a derivada da potência, lembrando que $\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ e a derivada da função tangente

$f'(x)=(-1)\cdot x^{-1-1}\cdot\sec^2\left(\dfrac{1}{x}\right)$

Some os valores no expoente e reescreva como fração

$f'(x)=-x^{-2}\cdot\sec^2\left(\dfrac{1}{x}\right)\\\\\\ f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\cdot\sec^2\left(\dfrac{1}{x}\right)$

Esta é a derivada desta função.