Question

Derive a as funções (x²+1)(x²+2)^1/3

Answer 1

Olá


Regra do produto:

(f.g)' = f'.g + f.g'

Regra da cadeia:

y' = dy/du * du/dx

Propriedade:

a^{-b} = 1/(a^b)




$\displaystyle\mathsf{y=(x^2+1)\cdot(x^2+2)^{ \frac{1}{3} }}\\\\\\\mathsf{y'=(2x)\cdot(x^2+2)^{ \frac{1}{3} }+(x^2+1)\cdot \frac{1}{3}(x^2+2)^{ \frac{1}{3}-1 }\cdot (2x) }\\\\\\\mathsf{y'=(2x)\cdot(x^2+2)^{ \frac{1}{3} }+(x^2+1)\cdot \frac{1}{3}(x^2+2)^{- \frac{2}{3} }\cdot (2x) }\\\\\\\mathsf{y'=(2x)\cdot(x^2+2)^{ \frac{1}{3} }+ \frac{(x^2+1)\cdot (2x)}{3(x^2+2)^{ \frac{2}{3} }} }\\\\\\\mathsf{y'=(2x)\cdot(x^2+2)^{ \frac{1}{3} }+ \frac{2x^3+2x}{3(x^2+2)^{ \frac{2}{3} }} }$


Fazendo o MMC


$\displaystyle \mathsf{y'= \frac{3(x^2+2)^{ \frac{2}{3}} (2x)\cdot(x^2+2)^{ \frac{1}{3} }+(2x^3+2x)}{3(x^2+2)^{ \frac{2}{3} }} }\\\\\\\mathsf{y'= \frac{6x(x^2+2)^{ \frac{2}{3}} \cdot(x^2+2)^{ \frac{1}{3} }+(2x^3+2x)}{3(x^2+2)^{ \frac{2}{3} }} }\\\\\\\text{Bases iguais, soma-se os expoentes}\\\\\\\mathsf{y'= \frac{6x(x^2+2)+(2x^3+2x)}{3(x^2+2)^{ \frac{2}{3} }} }\\\\\\\mathsf{y'= \frac{6x^3+12x+2x^3+2x}{3(x^2+2)^{ \frac{2}{3} }} }\\\\\\\boxed{\mathsf{y'= \frac{8x^3+14x}{3(x^2+2)^{ \frac{2}{3} }} }}$