Question

Derive a 3ª Lei de Kepler do movimento planetário a

partir da Lei da Gravitação Universal de Newton
considerando órbitas circulares.

Answer 1

Considerando uma órbita circular de raio $R$ , ao redor do Sol, de um planeta de massa $m$ com velocidade angular $\omega$, a resultante centrípeta que atua no planeta vale:

$F_{cp} = m\omega^2 R$ (1)

Chamando de $T$ o período de revolução, a velocidade angular pode ser escrita como:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$ (2)

Substituindo (2) em (1):

$F_{cp} = m (\frac{2\pi}{T})^2 R\\F_{cp} = \frac{4\pi^2 m R}{T^2}$ (3)

Agora você deve lembrar o seguinte: a força centrípeta é a força de atração gravitacional entre o Sol e o planeta. Chamando de M a massa do Sol, temos:

$F_G = F_{cp}\\G\frac{mM}{R^2} = \frac{4\pi^2 m R}{T^2}\\\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$

Como você pode ver, o termo do lado direito da igualdade é constante, logo a razão entre o quadrado do período de revolução e o cubo do raio da órbita de um planeta (considerando a órbita circular) é constante.