Matemática, perguntado por Ryuchan, 1 ano atrás

Derivar y = r/ (r² + 1)^1/2

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
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y=\dfrac{r}{(r^{2}+1)^{1/2}}


Aplicando a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia, temos

\dfrac{dy}{dr}=\dfrac{d}{dr}\left[\dfrac{r}{(r^{2}+1)^{1/2}} \right ]\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dr}=\dfrac{\frac{d}{dr}(r)\cdot (r^{2}+1)^{1/2}-r\cdot \frac{d}{dr}[(r^{2}+1)^{1/2}]}{[(r^{2}+1)^{1/2}]^{2}}\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dr}=\dfrac{1\cdot (r^{2}+1)^{1/2}-r\cdot \frac{1}{2}(r^{2}+1)^{(1/2)-1}\cdot \frac{d}{dr}(r^{2}+1)}{[(r^{2}+1)^{1/2}]^{2}}\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dr}=\dfrac{(r^{2}+1)^{1/2}-r\cdot \frac{1}{2}(r^{2}+1)^{-1/2}\cdot (2r)}{(r^{2}+1)^{(1/2)\,\cdot\, 2}}\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dr}=\dfrac{(r^{2}+1)^{1/2}-r^{2}\,(r^{2}+1)^{-1/2}}{(r^{2}+1)}

 
Multiplicando o numerador e o denominador por (r^{2}+1)^{1/2}, temos

\dfrac{dy}{dr}=\dfrac{[(r^{2}+1)^{1/2}-r^{2}\,(r^{2}+1)^{-1/2}]\cdot (r^{2}+1)^{1/2}}{(r^{2}+1)\cdot (r^{2}+1)^{1/2}}\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dr}=\dfrac{(r^{2}+1)^{(1/2)+(1/2)}-r^{2}\,(r^{2}+1)^{-(1/2)+(1/2)}}{(r^{2}+1)^{1+(1/2)}}\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dr}=\dfrac{(r^{2}+1)-r^{2}}{(r^{2}+1)^{3/2}}\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dr}=\dfrac{1}{(r^{2}+1)^{3/2}}


Lukyo: Espera, tem um pequeno erro.
Lukyo: Pronto. Corrigido.
Lukyo: Atualize a página para visualisar a resposta correta.
Lukyo: visualizar***
Ryuchan: Obrigado, cara
Ryuchan: só mais uma duvida, por que multiplicar por (r² +1)^1/2 ? Só por estética mesmo ?
Lukyo: Na verdade, caso queria poderia parar na linha logo antes da multiplicação. não estaria incorreto, mas não seria a forma mais simplificada....
Lukyo: Esse passo não faz parte do desenvolvimento da derivada.. só mesmo para deixar a resposta final mais simples..
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