Question

derivar a funcao y= ln (x^2+4x+5)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = ln(x {}^{2} + 4x + 5)$

A questão nos pede para derivarmos essa função, primeiramente observe que temos uma função constante, já que dentro da função logarítmica, há uma função algébrica. Logo para derivar essa função, usaremos a regra da cadeia, dada por: $\sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$. Dando nome as funções:

$\sf y = ln(u) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf u = x {}^{2} + 4x + 5$

Aplicando a regra da cadeia:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} ln(u) . \frac{d}{dx} (x {}^{2} + 4x + 5)$

Lembre-se que a derivada do logaritmo natural é dada pela seguinte expressão:

$\boxed{ \boxed{ \sf \frac{d}{dx} ln(u) = \frac{1}{x} . \frac{du}{dx}}}$

Já a derivada da soma de várias funções é igual a derivada de cada uma das funções envolvidas:

$\boxed{ \boxed{\sf \frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)}}$

Aplicando essas regras;

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} . \frac{d}{dx} x {}^{2} + \frac{d}{dx} 4x + \frac{d}{dx} 5 \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} . 2x + 4 + 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2x + 4}{u} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Repondo a expressão que representa "u":

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{2x + 4}{x {}^{2} + 4x + 5 }$

Espero ter ajudado