Question

Derivando a função: Y=f(x)= x⁵-6x³+4x²-2x+⅖

Answer 1

Com os cálculos finalizado podemos afirmar que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \: \left[ x^{5} -6x^{3} +4x^{2} -2x +\dfrac{2}{5} \right] = 5x^{4} -18x^{2} +8x - 2 } }$

Derivada é à taxa de variação instantânea de uma função.

A derivada de uma função constante é 0; isto é, se c for um número

real qualquer, então:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{d}{dx}\:[c] = 0 }$

Regra da Potência:

Se n for um número inteiro positivo, então:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{d}{dx}\: [x^n] = n \cdot x^{n-1} }$

Regra do Múltiplo Constante:

Se f for diferenciável em x e c for um número real qualquer, então c f também será diferenciável em x, então:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{d}{dx} \: [ c\cdot f(x)] = c \cdot \dfrac{d}{dx}\: [f(x)] }$

Regras da Soma e da Diferença:

Se f e g forem diferenciáveis em x, então $\boldsymbol{ \textstyle \sf f + g }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf f - g }$  também o serão:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{d}{dx} \:[f(x) +g(x) ] = \dfrac{d}{dx}\:[ f(x)] + \dfrac{d}{dx}\:[ g(x) ] }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{d}{dx} \:[f(x) - g(x) ] = \dfrac{d}{dx}\:[ f(x)] - \dfrac{d}{dx}\:[ g(x) ] }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = f(x) = x^{5} -6x^{3} +4x^{2} -2x +\dfrac{2}{5} } }$

Aplicando as propriedades da derivação:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \: \left[ x^{5} -6x^{3} +4x^{2} -2x +\dfrac{2}{5} \right] } }$

Derivando cada uma, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx}\:[x^{5}] = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx}\:[6x^{3}] = 5 \cdot \dfrac{d}{dx} \: [x^{3} ] = 6 \cdot 3 \cdot x^{3-1} = 18 x^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx}\:[4x^{2}] = 4 \cdot \dfrac{d}{dx} \: [x^{2} ] = 4 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 8 x^1 = 8x } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx}\:[2x] = 2\cdot \dfrac{d}{dx} \: [x ] = 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \: \left[ \dfrac{2}{5} \right] = 0 } }$

Atribuindo os dados da derivação na função, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \: \left[ x^{5} -6x^{3} +4x^{2} -2x +\dfrac{2}{5} \right] = 5x^{4} -18x^{2} + 8x - 2 + 0 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{d}{dx} \: \left[ x^{5} -6x^{3} +4x^{2} -2x +\dfrac{2}{5} \right] = 5x^{4} -18x^{2} +8x - 2 }$

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