Derivadas Parciais de 1º ordem.
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Soluções para a tarefa
Resposta:
Determine as derivadas parciais de $z=(x^{2}+y^{2})\ln(x^{2}+y^{2})$.
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2636
O índice de sensação térmica $W$ é a temperatura sentida quando a temperatura real é $T$ e a velocidade do vento, $v$. Portanto, podemos escrever $W=f(T,v)$. Considerando a tabela abaixo:

Estime os valores de $f_{T}(-15,30)$ e $f_{v}(-15,30)$. Quais são as nterpretações práticas desses valores?
Em geral, o que se pode dizer sobre o sinal de $\partial W/\partial T$ e $\partial W/\partial v$?
Qual parece ser o valor do seguinte limite
$$\lim_{v\rightarrow \infty}\frac{\partial W}{\partial v}?$$
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2647
Determine as derivadas parciais indicadas. $w=\dfrac{x}{y+2z}$; \;\;\;\;$\dfrac{\partial^{3}w}{\partial z\partial y \partial x}$, \;\;\;\;$\dfrac{\partial^{3}w}{\partial x^{2}\partial y}$.
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2640
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $u=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdot \cdot \cdot +x_{n}^{2}}$.
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2633
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $f(x,y)=\displaystyle\int_{y}^{x}\cos^2t \ \mathrm{d}t$.
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2693
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=e^{-xyz}$.
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2651
A lei dos gases para uma massa fixa $m$ de um gás ideal à temperatura absoluta $T$, pressão $P$ e o volume $V$ é $PV=mRT$, onde $R$ é a constante do gás. Mostre que
$$\frac{\mathrm{\partial}P}{\mathrm{\partial}V}\frac{\mathrm{\partial}V}{\mathrm{\partial}T}\frac{\mathrm{\partial}T}{\mathrm{\partial}P}=-1.$$
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2666
Considere a função $z=\dfrac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}.$ Verifique que $x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=z.$
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2687
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=x-\sqrt{y^{2}+z^{2}}$.
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2664
Determine as derivadas parciais de $f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{2}+3}$.
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2696
Calcule todas as derivadas parciais de $2^{\underline{a}}$ ordem de $z=e^{x^{2}-y^{2}}$.
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2686
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=1+xy^{2}-2z^{2}$.
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2688
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}$.
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2648
São mostradas as curvas de nível de uma função $f.$ Determine se as seguintes derivadas parciais são positivas ou negativas no ponto $P.$

$f_{x}$
$f_{xx}$
$f_{yy}$$f_{y}$
$f_{xy}$
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2685
Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=\cos^{2}(3x-y^2)$.
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2661
Determine as derivadas parciais de $z=\arctan \dfrac{x}{y}$.
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2680
Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=(x^{2}-1)(y+2)$.
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2679
Seja $s = f(x,y,z,w)$ dada por $s = e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}}$. Verifique que
$$x\dfrac{\partial s}{\partial x} + y \dfrac{\partial s}{\partial y} + z \dfrac{\partial s}{\partial z} + w \dfrac{\partial s}{\partial w} = 0.$$
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2681
Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=(xy-1)^{2}$.
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2644
Use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar $f_{x}(x,y)$ e $f_{y}(x,y)$, sendo $f(x,y)=x^{2}y-x^{3}y$.
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2691
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=\ln(x+2y+3z)$.
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2665
Determine as derivadas parciais de $z=\dfrac{x\sin{y}}{\cos(x^{2}+y^{2})}$.
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2658
Determine as derivadas parciais de $z=x^{2}\ln(1+x^{2}+y^{2})$.
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2660
Determine as derivadas parciais de $f(x,y)=(4xy-3y^{3})^{3}+5x^{2}y$.
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2702
Seja $f(x,y)=\dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.$
Calcule as derivadas parciais $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$, num ponto $(x,y)\neq\;(0,0).$
Calcule o limite, se existir.
$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$$
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2641
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $u=te^{w/t}$.
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2671
Seja $\phi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável de uma variável real e seja $f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\phi \bigg(\dfrac{x}{y}\bigg).$
Mostre que
$$x\;\frac{\partial f}{\partial x}+y\;\frac{\partial f}{\partial y}=2f.$$
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2645
Determine $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$, sendo $z=f(x)+g(y)$.
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2669
A função $p=p(V,T)$ é dada implicitamente pela equação $pV=nRT$, onde $n$ e $R$ são constantes não-nulas (Lei dos Gases Ideais). Calcule $\dfrac{\partial p}{\partial V}$ e $\dfrac{\partial p}{\partial T}.$
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2654
Determine as derivadas parciais de $f(x,y)=5x^{4}y^{2}+xy^{3}+4$.
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2649
Verifique que a função $u=1/\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ é uma solução da equação de Laplace