Question

derivadas... Mostre que f(x) = -> x² + x + 1 , se x <= 1
-> 3x, se x > 1
é contínua em x=1. Determine se f é diferenciável em x=1. Se for, encontre o valor da derivada nesse ponto.

o gabarito mostra f'(1)= 3.

Por favor, preciso passo a passo, obrigada!

Answer 1

Para uma função ser contínua em x = a, as três condições devem ser respeitadas:

- f(a) deve estar definida

- $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ deve existir

-  $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
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$f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1,~~se~x\le1\\3x,~~~~~~~~~~~~se~x\ \textgreater \ 1\end{cases}$

f(1) existe. Achando f(1):

$f(1)=1^{2}+1+1=3$

Verificando o limite de f(x) quando x tende a 1:

Limite à direita:

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}(3x)=3\cdot1=3$

Limite à esquerda:

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}(x^{2}+x+1)=1^{2}+1+1=3$

Portanto:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=3=f(3)}}$

Como as três condiçõs foram respeitadas, a função é contínua em x = 3.
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Se a função é diferenciável em x = 1, o limite

$\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$

Deve existir.

Verificando se os limites laterais existem:

Limite à esquerda:

$\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{[(1+h)^{2}+(1+h)+1]-[3]}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{1+2h+h^{2}+1+h+1-3}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{3h+h^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{h(3+h)}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}{\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}(3+h)=3+0=3$

Limite à direita:

$\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{3(1+h)-3}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{3(1+h-1)}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{3(h)}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}3=3$

Então:

$\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=3$

E esse é justamente o valor da derivada de f no ponto (1,3):

$\boxed{\boxed{f'(1)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=3}}$