Question

DERIVADAS- DETERMINEASDIMENSÕESDE UM RETÂNGULODE ÁREA 64M² DE MODO QUE SEU PERÍMETRO SEJA MÍNIMO

Answer 1

Suponha que o retângulo tem dimensões $x \times y$, com $x, y > 0$ expressos em metros. Temos que a área do retângulo é dada por $A = xy = 64$ e o seu perímetro é dado por $P = 2x+2y$.

A partir da expressão área, como $x \neq 0$, concluímos que $y = \dfrac{A}{x} = \dfrac{64}{x}$, pelo que o perímetro é então:
$P = 2x + 2 \times \dfrac{64}{x} = 2x + \dfrac{128}{x}$.

Considerando $P = P(x)$, podemos utilizar a derivada para determinar o mínimo:
$\dfrac{\textrm{d}P}{\textrm{d}x} = 2 - \dfrac{128}{x^2}$

Os pontos de estacionaridade ocorrem para os zeros da derivada, para $x\neq 0$:
$\dfrac{\textrm{d}P}{\textrm{d}x} = 0 \iff 2 - \dfrac{128}{x^2} \iff 1 = \dfrac{64}{x^2} \iff x^2 = 64 \iff x = 8$

Visto que
$\dfrac{\textrm{d}^2 P}{\textrm{d}x^2} = \dfrac{256}{x^3} > 0, \quad \forall x>0$,
a função $P$ apenas tem mínimos.

Substituindo $x = 8$ na expressão da área, obtemos $y = \dfrac{64}{8} = 8$.

Assim, o retângulo que satisfaz o pretendido é um quadrado de $8 \textrm{ m}$ de lado.