Question

DERIVADA

Prove que :

Se a função f : I → R tem derivada limitada sobre I, então f é uniformemente contínua sobre I.

Answer 1

Resposta:

Olá

Explicação passo-a-passo:

Dada a complexidade da pergunta, irei assumir conhecido todos os conceitos que serão usados na prova.

Pois bem, por hipótese, sabemos que existe uma constante M >0 tal que |f'(x)| ≤ M para todo x ∈ I. Segue do Teorema do valor médio, que

f(x) − f(y) = f '(a)(x − y),

para algum a no intervalo (x,y) contido em I. Assim, |f(x) − f(y)| ≤ M|x − y|.

Agora, dado qualquer ε > 0,  tome δ = ε/M. Então |x−y| < δ implica que

|f(x)−f(y)| ≤ M|x−y|<Mδ = M.(ε /M)

Decorre disso que f é uniformemente contínua no intervalo I.

Bons estudos