Question

Derivada:Pela definição de derivada mostre que se f(x) = sen (x) então a derivada de f no ponto a é cos (a).

Answer 1

de acordo com o enunciado:

d/dx (sin (x))

A partir da definição de limite da derivada, d / dx (sin (x)) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) - sin (x)) / h:

 = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) - sin (x)) / h

Aplique a fórmula de adição do ângulo senoidal ao pecado (x + h):

 = lim_ (h-> 0) ((sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - sin (x)) / h

Colete em termos de cos (x) e sin (x):

 = lim_ (h-> 0) (cos (x) sen (h) / h + sin (x) (cos (h) - 1) / h)

Multiplique o numerador e o denominador de (cos (h) - 1) / h pelo termo conjugado cos (h) + 1 e expanda o numerador:

 = lim_ (h-> 0) (cos (x) sen (h) / h + sin (x) (cos ^ 2 (h) - 1) / ((cos (h) + 1) h))

Aplique a identidade pitagórica sin ^ 2 (h) + cos ^ 2 (h) = 1:

 = lim_ (h-> 0) (cos (x) sin (h) / h - sin (x) (sin ^ 2 (h)) / ((cos (h) + 1) h))

Fator dentro do limite:

 = lim_ (h-> 0) ((cos (x) - (sin (x) sin (h)) / (cos (h) + 1)) sin (h) / h)

O limite de um produto é o produto dos limites:

 = (lim_ (h-> 0) (cos (x) - (sin (x) sin (h)) / (cos (h) + 1))) (lim_ (h-> 0) sin (h) / h )

Por continuidade, lim_ (h-> 0) (cos (x) - (sin (x) sin (h)) / (cos (h) + 1)) = cos (x) - (sin (x) sin (0) )) / (cos (0) + 1) = cos (x):

 = cos (x) (lim_ (h-> 0) sen (h) / h)

Aplique o limite comum lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1:

Resposta:

 | = cos (x)

d/dx (sin (x))  = cos(x)

f'(a) = cos(a)

.

Answer 2

Derivada no ponto

$\huge\boxed{\boxed{\displaystyle\mathsf{f'(a)=\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}}}$

$\displaystyle\mathsf{f'(a)=\lim_{x \to a}\dfrac{sen(x)-sen(a)}{x-a}}\\\mathsf{fazendo~x-a=t\to~x=t+a}\\\mathsf{x\to~a~se~t~\to~0}$

$\displaystyle\mathsf{\lim_{t \to 0}\dfrac{sen(t+a)-sen(a)}{t}}\\\mathsf{\lim_{t \to 0}\dfrac{sen(t).cos(a)+sen(a).cos(t)-sen(a)}{t}}$

$\displaystyle\mathsf{\lim_{t \to 0}\dfrac{sen(t).cos(a)}{t}+\displaystyle\lim_{t \to 0}\dfrac{sen(a).cos(t)-sen(a)}{t}}$

Vamos resolver cada limite separadamente e depois somar.

$\displaystyle\mathsf{\lim_{t \to 0}\dfrac{sen(t).cos(a)}{t}}\\\to\displaystyle\mathsf{cos(a).\lim_{t \to 0}\dfrac{sen(t)}{t}=cos(a).1=cos(a)}$

$\displaystyle\mathsf{\lim_{t \to 0}\dfrac{sen(a).cos(t)-sen(a)}{t}}\\\to\displaystyle\mathsf{\lim_{t \to 0}\dfrac{sen(a)(cos(t)-1)}{t}}\\\to\displaystyle\mathsf{-1.sen(a).\lim_{t \to 0}\dfrac{1-cos(t)}{t}=-sen(a).0=0}$

portanto

$\displaystyle\mathsf{f'(a)=\lim_{x \to a}\dfrac{sen(x)-sen(a)}{x-a}=cos(a)~~c.q.d}$