Question

Derivada implícita de

$y^3+senxy=1$

Answer 1

Vamos lá!

Podemos ver que a equação ja ta tudo ok. "Y" isolados.

vamos ter que derivar Senxy usando a regra da cadeia.

------------------------------------------

Seja, 


$\\ Y = F(g(x)) \\ \\ Y' = F'(G(x))*G(x)'$


--------------------------------------------------------

Temos:

Y = Senxy

Devmos derivar a função de fora, e conservar a função de dentro.

Y' = Cosxy*G(x)"   ←  G(x) = xy


Vamos procurar a derivada de G(x) pra depois substituir aqui:

-----------------------------

G(x) = xy   ←  Derivada do produto

G(x)' = x'y + xy'

G(x)' = 1y + xdx/dy

-----------------------------------------

Então tinhamos que:

Y = Cosxy*G(x)'

Y = Cosxy( 1y + xdx/dy)

-------------------------------------

Agora só derivar as demais funções:



$\\ y^3 + senxy = 1 \\ \\ 3y^3^-^1 \frac{dx}{dy} +Cos(xy) (1y+x\frac{dx}{dy} ) = 0 \\ \\ 3y^2 \frac{dx}{dy} +yCos(xy) + xCos(xy) \frac{dx}{dy} = 0 \\ \\ 3y^2 \frac{dx}{dy} + xCos(xy) \frac{dx}{dy} = -yCos(xy) \\ \\ \frac{dx}{dy} [3y^2 + xCos(xy) ] = -yCos(xy) \\ \\ \frac{dx}{dy} = \frac{-ycos(xy)}{3y^2+xCos(xy)}$

Answer 2

$\sf \displaystyle y^3+sen\:x\:y=1\\\\\\y^3+\sin \left(x\right)y=1\\\\\\Tratar\:}y{\:como\:}y\left(x\right)\\\\\\\to \boxed{\sf \frac{d}{dx}\left(y\right)=-\frac{y\cos \left(x\right)}{3y^2+\sin \left(x\right)}}$