Question

Derivada implícita de $x^{2} = \frac{x + 2y}{x-2y}$
A resposta que tá no livro é $\frac{ 3^{2}-4xy-1 }{2 x^{2} +2}$ , mas não estou conseguindo chegar a esse resultado.

Answer 1

Vamos lá:

Vamos isolar o denominador para facilitar os calculos:


$\\ x^2 = \frac{x+2y}{x-2y} \\ \\ x^2(x-2y)= x + 2y$

Vamos usar a regra do produto na primeira expressão:


$\\ F(x)'G(x) = F(x)'*G(x) + F(x)*G(x)'$

F(x) = x²
   
F(x)' = 2x

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G(x) = x-2y

$G(x)' = 1 -2* \frac{dx}{dy}$
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Então na primeira eq fica:

F(x)'G(x) + F(x)*G(x)' = $2x(x-2y) +x^2(1- \frac{2dx}{dy} )$


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Vamos derivar o segundo membro da eq:

$\\ H(x) = x +2y \\ \\ H(x)' = 1 + \frac{2dx}{dy}$

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Agora só substituir as derivadas.


$\\ 2x(x-2y) + x^2(1 - \frac{2dx}{dy} ) = 1-\frac{2dx}{dy} \\ \\ 2x*x-2*2xy + x^2*1-x^2* \frac{2dx}{dy} = 1- \frac{2dx}{dy} \\ \\ 2x^2-4xy+x^2-2x^2 \frac{dx}{dy} = 1 + \frac{2dx}{dy}$

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Agora devemos isolar tudo que for dx/dy na lado esquerdo da eq, o que não for passa pro lado direito:

$\\ -2x^2 \frac{dx}{dy} + \frac{2dx}{dy} = 1 -2x^2-x^2+4xy \\ \\ -2x^2 \frac{dx}{dy} - \frac{2dx}{dy} = 1-3x^2+4xy$

Coloque dx/dy em evidencia:

$\frac{dx}{dy} ( -2x^2-2) = 1-3x^2+4xy$

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Passa dividindo (-2x²-2 ) pro lado direito:




$\\ \frac{dx}{dy} = \frac{-3x^2+4xy+1}{-2x^2-2} \\ \\ \frac{dx}{dy} = \frac{-(3x^2-4xy-1)}{-(2x^2+2)} \\ \\ \frac{dx}{dy} = \frac{3x^2-4xy-1}{2x^2+2}$