Question

Derivada implícita de
$x^2-5xy+3y^2=7$

Answer 1

$x^2-5xy+3y^2=7$

$2x-5(y+xy')+6yy'=0$

$2x-5y+5xy'+6yy'=0$

$5xy'+6yy'=-2x+5y$

$y'(5x+6y)=5y-2x$

$y'=\frac{5y-2x}{5x+6y}$

Answer 2

Vamos pegar a primeira expressão e resolvê-la por derivação implícita. Se fosse do modo "tradicional", teríamos de assumir que y=f(x), determinar as condições para que y=f(x) seja uma função e então derivar. Entretanto, o método da derivação implícita é completo neste sentido: teremos as respostas procuradas com alguns passos de derivação. Iniciemos por derivar ambos os membros da expressão: 

2x - (5y+5xy') + 6yy' = 0 

Resolvendo para y', vem: 

2x - 5y - 5xy' + 6yy' = 0 

2x - 5y - y' (5x - 6y) = 0 

y' (5x-6y) = 5y - 2x 

Portanto: y' = (5y - 2x) / (5x - 6y). 

Note que para encontrar a derivada de alguma função implícita à equação dada é necessário encontrar uma função implícita, a qual deseja-se derivar! Sabendo a função y=f(x), basta substituir na relação acima que você obtém diretamente a derivada. Este é o procedimento da derviação implícita.