Matemática, perguntado por elienef830, 5 meses atrás

derivada implicita de 4x^3-2y^3=x

Soluções para a tarefa

Respondido por YaraLasuy

Resposta:

Explicação passo a passo:

Oi,

Derivar implicitamente é literalmente a mesma coisa do que derivar "não implicitamente", a única coisa que ocorre, é que quando temos o y isolado, do tipo:

y = f(x)

Se derivarmos de ambos os lados da equação, teremos:

$\frac{d(y)}{dx}=\frac{f(x)}{dx}$

Que pela regra da cadeia:

$1*y'=f'(x)$ , pois derivamos o "y", que deu 1. E multiplicamos pela derivada da função "de dentro", que no caso resulta em y'.

Derivar implicitamente é utilizar a regra da cadeia sempre que aparecer um y.

$\frac{d(4x^3-2y^3)}{dx}=\frac{d(x)}{dx}=> \frac{d(4x^3)}{dx}-\frac{d(2y^3)}{dx}=1 =>12x^2-6y^2y'=1$

Novamente, derivamos o y, e multiplicamos pela derivada (y').

Esse caso é um polinômio, então é bem facil, mas é só lembrar da regra da cadeia que você consegue fazer qualquer caso.

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada implícita da curva em termos da incógnita "x" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = \frac{1 - 12x^{2}}{-6y^{2}}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação da curva definida implicitamente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 4x^{3} - 2y^{3} = x\end{gathered}$}$

Para encontrar a derivada implícita da curva em termos da incógnita "x", fazemos:

$\Large \text {$\begin{aligned}(4x^{3} - 2y^{3})' & = (x)'\\3\cdot4\cdot x^{3 - 1} - 3\cdot2\cdot y^{3 - 1}y' & = 1\cdot x^{1 - 1}\\12\cdot x^{2} - 6y^{2}y' & = 1\cdot x^{0}\\12x^{2} - 6y^{2}y' & = 1\cdot 1\\12x^{2} - 6y^{2}y' & = 1\\-6y^{2}y' & = 1 - 12x^{2}\\y' & = \frac{1 - 12x^{2}}{-6y^{2}}\end{aligned} $}$