Question

Derivada: f(x)=[x².ln(x)]^4, encontre o valor de f'(e). Me ajudem

Answer 1

Vamos começar aplicando a regra da cadeia.

$Para~~u(x)~=~x^2\cdot ln(x)~~a~regra~da~cadeia~fica:\\\\\\\dfrac{d}{dx}\,f(u(x))~=~\dfrac{df(u)}{du}\cdot\dfrac{du(x)}{dx}\\\\\\\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]^4~=~\dfrac{u^4}{du}\cdot\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]\\\\\\\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]^4~=~4u^3\cdot\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]\\\\\\\boxed{\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]^4~=~4\left[x^2\cdot ln(x)\right]^3\cdot\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]}$

Falta calcularmos a derivada de [x².ln(x)].

Para isso, podemos utilizar a regra do produto:

$\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]}~=~\left(\dfrac{d}{dx}x^2\right)\cdot ln(x)~+~\left(\dfrac{d}{dx}ln(x)\right)\cdot x^2\\\\\\\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]}~=~\left(2x\right)\cdot ln(x)~+~\left(\dfrac{1}{x}\right)\cdot x^2\\\\\\\boxed{\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]~=~2x\cdot ln(x)~+~x}$

Substituindo na expressão achada pela regra da cadeia:

$\boxed{\dfrac{d}{dx}\left[x^2\cdot ln(x)\right]^4~=~4\left[x^2\cdot ln(x)\right]^3\cdot\left(2x\cdot ln(x)~+~x\right)}$

Poderíamos fazer algumas simplificações, mas, como estamos interessados apenas no valor da derivada no ponto, podemos deixar assim.

Agora, substituindo "x" na derivada pela constante e, temos:

$f'(e)~=~4\left[e^2\cdot ln(e)\right]^3\cdot\left(2e\cdot ln(e)~+~e\right)\\\\\\f'(e)~=~4\left[e^2\cdot 1\right]^3\cdot\left(2e\cdot 1~+~e\right)\\\\\\f'(e)~=~4\left[e^2\right]^3\cdot\left(2e~+~e\right)\\\\\\f'(e)~=~4e^6\cdot3e\\\\\\\boxed{f'(e)~=~12e^7}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Derivada d'uma Função Composta :

Dada a função :

$\mathtt{\huge{ f(x)~=~y~=~[x^2 \cdot ln(x)]^4 } }$

Achar a f'(e) .

Vou destacar aquí a regra que será aplicada para a derivação da função :

$\mathtt{ f(x)~=~[g(x)]^n \Rightarrow f'(x)~=~n\cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) }$

Aplicação :

$\mathtt{ y'~=~4\cdot [x^2 \cdot ln(x)]^3 \cdot [x^2 \cdot ln(x)]' }$

Quando :

y = a • b >>> y' = a'•b + a•b'

Aplicação :

$\mathtt{ y'~=~4[x^2 \cdot ln(x)]^3 \cdot [ 2x\cdot ln(x) + x^2\cdot \dfrac{1}{x} ] }$

Achando a f'(e) :

$\mathtt{ f'(e)~=~4[e^2\cdot ln(e)]^3 \cdot [2e \cdot ln(e) + e^2\cdot \dfrac{1}{e} ] }$

$\mathtt{f'(e)~=~4e^6\cdot \Big( 2e + \dfrac{e^2}{e} \Big) }$

$\mathtt{ f'(e)~=~4e^6 \cdot (3e) }$

$\iff \boxed{\mathtt{ \green{ f'(e)~=~12e^7 } } }$

Espero ter ajudado bastante!)