Question

derivada f(x)= 2.|x|

Answer 1

A definição da derivada de uma função nunca é utilizada para calcular sua função derivada, pois é um processo longo e excessivamente complexo, principalmente quando existe outro método muito mais rápido e, sobretudo, menos propenso a erros. No entanto, em alguns exames, o aluno é frequentemente solicitado a calcular a derivada de uma função aplicando a definição para que o aluno demonstre que tem a capacidade de calcular o limite da função que é necessário.

Para calcular a derivada de uma função vamos usar a Tabela de derivadas ou Tabela de fórmulas de derivadas juntamente com as regras de diferenciação. Essas fórmulas não aparecem por mágica, mas são inferidas através de um processo de indução que consiste em derivar aplicando a definição de derivada a funções genéricas para obter uma regra que permita derivá-la.

Veja abaixo:

$f(x) = 2 \times |x| \\\downarrow \\ f'(x) = \frac{d}{dx} (2 \times |x| )$

• Use a propriedade $\color{green} {{  }} |x| = \sqrt{ {x}^{2} }$

$f'(x) = \frac{d}{dx} (2 \sqrt{ {x}^{2} } )$

• Use a Regra da Derivação $\color{green} {{  }}\frac{d}{dx} (x \times y) = x \times \frac{d}{dx} (y)$

$f'(x) = 2 \times \frac{d}{dx} ( \sqrt{ {x}^{2} } )$

Use a Regra da Cadeia: Regra da cadeia por exemplo, cos(x²) é composta, porque se considerarmos f(x) = cos(x) e g(x) = x², então cos(x²) = f(g(x)).

g é a função dentro de f, então chamamos g de função "interna" e f de função "externa". $\color{green} {{  }}\frac{d}{dx} (f(g)) = \frac{d}{dx} (f(g)) \times \frac{d}{dx} (g)$ onde g = x².

$f'(x) = 2 \times \frac{d}{dx} ( \sqrt{g} ) \times \frac{d}{dx} ( {x}^{2} ) \\ \downarrow \\ f'(x) = 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{g} } \times \frac{d}{dx} (x {}^{2} ) \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ {2x}^{2 - 1} = 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \downarrow \\ f'(x) = 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{g} } \times 2x$

• Substitua g por x²

$f'(x) = 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{ {x}^{2} } } \times 2x \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \downarrow \\ f'(x) = \cancel{ 2 } \times \frac{1}{\cancel{ 2 } \times |x| } \times 2x \\ \: \: \downarrow \\ f'(x) = \frac{1}{ |x| } \times 2x \\\downarrow \\ f'(x) = \frac{2x}{ |x| }$

$f'(x) = \frac{2x}{ |x| } \: , \: x≠0 \\ \: \: \: \: \: \: \downarrow \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⎧ \frac{2x}{ - x};x∈\langle -∞ \: ,0 \rangle \\\frac{2x}{ |x| } =⎨\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⎩ \frac{2x}{x} ; \: x∈\langle0 \: , + ∞\rangle$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⎧ - 2;x∈\langle - ∞ \: ,0\rangle \\ \frac{2x}{ |x| } = ⎨\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⎩2 ;x∈\langle0 \: , + ∞\rangle$

Resposta: $\color{green} {{  }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\ ⎧ - 2;x∈\langle - ∞,0\rangle \\\color{green} {{  }}f'(x) = ⎨\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\color{green} {{  }} ⎩ 2;x∈\langle0, + ∞\rangle$

${\huge\boxed { {\bf{E}}}\boxed { \red {\bf{a}}} \boxed { \blue {\bf{s}}} \boxed { \gray{\bf{y}}} \boxed { \red {\bf{}}} \boxed { \orange {\bf{M}}} \boxed {\bf{a}}}{\huge\boxed { {\bf{t}}}\boxed { \red {\bf{h}}}}$