Question

derivada em relação a x da seguinte função x³+y³=16

Answer 1

Resposta:

- x²/∛((16-x³)²)  ou simplesmente  - 3x² / 3y²

Explicação passo a passo:

Quando temos uma função onde o y não está isolado, isto é, ele está no meio da equação, chamamos isso de função implícita. Para derivar podemos usar 2 metódos:

1) isolamos o y e encontramos a função explícita e derivamos normalmente

2) usamos a derivação implícita

O primeiro caso é usado para quando podemos isolar o y sem nenhum problema, mas nem sempre isso será possível. Na nossa questão, isso é possível.

isolando o y ficamos com:

x³ + y³ = 16 => y³ = 16 - x³ => y = ∛(16-x³)

Derivando isso:

dy/dx =  [ ∛(16-x³) ] '

= [ (16-x³)^1/3 ] '

= 1/3 . (16-x³)^-2/3 . -3x²

dy/dx = - x²/∛((16-x³)²)

(caso não tenha entendido esse cálculo, eu enviei uma imagem dele)

Mas, em muitos casos, isolar o y não será possível, então eu vou fazer pelo metódo da derivação implícita. Para isso, basta derivar dos dois lados da equação(ambos em relação ao x):

[ x³+ y³] ' = [16]'

3x² + 3y² . y' = 0   <- (aqui lembrar que y é uma função de x, então aplicamos regra da cadeia para quando derivar y)

isolando y':

3y² . y' = -3x²

y' = - 3x² / 3y²

Podemos deixar o resultando assim. No entanto, veja que o resultado deu diferente da derivada de quando isolamos o y. Na verdade, se você substituir y = ∛(16-x³) em y' que acabamos de encontrar, o resultado será

- x²/∛((16-x³)²) como haviamos visto.