Question

Derivada do quociente 16x / (4-x^2)^2

Ajuda por favor, acho que meu resultado não está certo!

Answer 1

Seja $f (x) = \frac{16x}{(4-x^2)^2}$
Considerermos, 
$g (x) = 16x \\ h(x) = (4-x^2)^2$
A derivada do quociente é 
$f' (x) = \frac{g' (x)h(x) - h'(x)g(x)}{(h(x))^2}$
Substituindo
$f' (x) = \frac{(16x)'[(4-x^2)^2] - 16x[(4-x^2)^2]'}{(4-x^2)^2}$
$f' (x) = \frac{(16[16 -8x^2 + x^4] - 16x[(4-x^2)^2]'}{(16 -8x^2 + x^4)}$

Não sei se você já conhece regra da cadeia, mas a função $h(x)$ ela é composta por duas funções. São elas:
$h(x) = (4-x^2)^2 \\ u(x) = 4-x^2 \\ v(x) = x^2$,
sendo $x = 4-x^2$, em v(x), observe que $h(x) = v(u(x))$, ou seja, ele é a composição de duas outras funções, $u(x)$ e $v(x)$. Observe ainda que o x de $v(x)$ é o resultado de $u(x)$, ou seja, a imagem da função $u(x) = x$.
Pela regra da cadeia, a derivada de uma função é $h'(x) = u'(x)v'(x)$
Sendo assim:
$h'(x) = u'(x)v'(x) \\u'(x) = (4-x^2)' = -2x \\ v'(x) = (x^2)' = 2x = 2(4-x^2)$
Logo, ficamos com:
$h'(x) = -4x(4-x^2)$, ou seja, a multiplicação das duas derivadas. Agora, podemos pôr $h'(x)$ na equação inicial.
Ficamos então com
$f' (x) = \frac{16[16 -8x^2 + x^4] - 16x[-4x(4-x^2)]}{(16 -8x^2 + x^4)}$

Você pode tentar simplificar, multiplicar o resultado para se ter um melhor resultado.