Question

Derivada de y=$(\frac{a-x}{a+x})^{3}$ ? Encontrei a mesma pergunta aqui, mas n entendi o meio da explicação.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{-6a\cdot(a-x)^2}{(a+x)^4}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a derivada a função $y=\left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^3$ em relação a $x$, devemos relembrar algumas técnicas de integração.

Utilizaremos as seguintes técnicas:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia, logo $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de um quociente é calculado da seguinte forma: $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{(g(x))^2}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é dada por $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Observe que a função é $f(g(x))$ tal que $f(x)=x^3$ e $g(x)=\dfrac{a-x}{a+x}$.

Aplicando a regra da cadeia e regra da potência, temos

$3\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^2\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)'$

Para derivarmos o quociente, aplique a regra do quociente:

$3\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^2\cdot \dfrac{(a-x)'\cdot (a+x)-(a+x)'\cdot (a-x)}{(a+x)^2}$

Aplique a regra da soma

$3\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^2\cdot \dfrac{((a)'-(x'))\cdot (a+x)-((a)'+(x)')\cdot (a-x)}{(a+x)^2}$

Aplique a regra da derivada da constante e a regra da potência

$3\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^2\cdot \dfrac{-1\cdot (a+x)-1\cdot (a-x)}{(a+x)^2}$

Multiplique os valores, efetuando a propriedade distributiva

$3\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^2\cdot \dfrac{-a-x-a+x}{(a+x)^2}$

Some os termos semelhantes

$3\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^2\cdot \dfrac{-2a}{(a+x)^2}$

Multiplique as frações

$\dfrac{-6a}{(a+x)^2}\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^2\\\\\\\\ \dfrac{-6a\cdot(a-x)^2}{(a+x)^4}$

Esta é a derivada desta função.