Question

derivada de y=7x4-2x^5/2x^6

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y = \frac{7x {}^{4} - 2x {}^{5} }{2x {}^{6} }$

Podemos interpretar essa função, como a divisão de duas funções, então:

$y = \frac{g(x)}{h(x)} \rightarrow \begin{cases}g(x) = 7x {}^{4} - 2x {}^{5} \\ h(x) = 2x {}^{6} \end{cases}$

Tendo feito isso, podemos então dizer que é possível usar uma das regras de derivação, chamada de regra do quociente, dada por:

$\frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{ \frac{d}{dx} \left[ g(x)\right].h(x) - g(x). \frac{d}{dx}\left[h(x) \right ] }{ \left[ h(x)\right ] {}^{2} }$

Aplicando:

$\frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{ \frac{d}{dx} (7x {}^{4} - 2x {}^{5} ).(2x {}^{6} ) - (7x {}^{4} - 2x {}^{5} ). \frac{d}{dx}(2x {}^{6} )} {(2x {}^{6} ) {}^{2} } \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\ \\ \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{(4.7x {}^{4 - 1} - 5.2x {}^{5 - 1}) .(2x {}^{6} ) - (7x {}^{4} - 2x {}^{5} ).2.6x {}^{6 - 1} )}{2x {}^{12} }\\ \\ \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{(28x {}^{3} - 10x {}^{4}).(2 {x}^{6} ) - (7x {}^{4} - 2x {}^{5} ).12x {}^{5} }{2 {x}^{12} } \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\ \\ \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{28x {}^{3} .2x {}^{6} - 10x {}^{4} .2x {}^{6} - 7x {}^{4} .12x {}^{5} + 2x {}^{5} .12x {}^{5} }{2x {}^{12} } \:\:\:\:\:\:\:\:\:\\ \\ \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{56x {}^{9} - 20x {}^{10} - 84x {}^{9} + 24x {}^{10} }{2x {}^{12} }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\ \\ \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{4x {}^{10} - 28x {}^{9} }{2x {}^{12} }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\ \\ \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{2x{ }^{9} .[2x {}^{} - 14 ] }{2x {}^{9} .2x {}^{3} }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ \\ \boxed{\frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{x - 7}{2x {}^{3} } }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

Espero ter ajudado