Question

Derivada de função diferencial

a) $2 \sqrt{x}$
b) x+1/2x - 1​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~\dfrac{1}{\sqrt{x}}~\left|~b)~\dfrac{-3}{(2x-1)^2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a derivada destas funções, devemos utilizar algumas técnicas de derivação.

Lembre-se que:

• A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, isto é: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de um quociente é calculado pela regra do quociente: $\left(\dfrac{f(x)}{g(x}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{(g(x))^2}$.
• A derivada da soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Analisemos cada uma separadamente:

a) $2\sqrt{x}$.

Observe que temos o produto de uma constante por uma função.

Derivando isto, obtemos:

$(2\sqrt{x})'=2\cdot (\sqrt{x})'$

Lembre-se que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, logo aplique a regra da potência

$(2\sqrt{x})'=2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}$

Multiplique os valores e subtraia os valores no expoente

$(2\sqrt{x})'=x^{-\frac{1}{2}}$

Então, lembre-se da propriedade: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.

$(2\sqrt{x})'=\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Devolva $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$.

$(2\sqrt{x})'=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

b) $\dfrac{x+1}{2x-1}$

Para derivarmos, aplique a regra do quociente:

$\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)'=\dfrac{(x+1)'\cdot(2x-1)-(2x-1)'\cdot (x+1)}{(2x-1)^2}$

Aplique a regra da soma:

$\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)'=\dfrac{((x)'+(1)')\cdot(2x-1)-((2x)'-(1)')\cdot (x+1)}{(2x-1)^2}$

Aplique a regra da derivada do produto de uma constante por uma função e a regra da potência.

$\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)'=\dfrac{1\cdot(2x-1)-2\cdot (x+1)}{(2x-1)^2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)'=\dfrac{2x-1-2x-2}{(2x-1)^2}$

Some os termos semelhantes

$\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)'=\dfrac{-3}{(2x-1)^2}$

Esta é a derivada desta função.