Question

derivada de f(x)=(x²-1).x-³

Answer 1

Regra do produto:

Se f e g são duas funções deriváveis, a derivada de (fg) será dada por:

$\boxed{\boxed{(fg)'=f'g+g'f=g(x)\dfrac{d}{dx}f(x)+f(x)\dfrac{d}{dx}g(x)}}$

"A derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a derivada da segunda vezes a primeira"
_________________________

$f(x)=(x^{2}-1)x^{-3}$

Aplicando a regra do produto:

$f'(x)=\left(\dfrac{d}{dx}(x^{2}-1)\right)x^{-3}+\left(\dfrac{d}{dx}x^{-3}\right)(x^{2}-1)\\\\\\f'(x)=(2\cdot x^{2-1}-0)x^{-3}+(-3)\cdot x^{-3-1}(x^{2}-1)\\\\f'(x)=2x\cdot x^{-3}-3x^{-4}(x^{2}-1)\\\\f'(x)=2x^{-2}-3x^{-2}+3x^{-4}\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=-x^{-2}+3x^{-4}}}$

Se quiser deixar na forma mais simples possível:
$f'(x)=3x^{-4}-x^{-2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{3}{x^{4}}-\dfrac{1}{x^{2}}\\\\\\f'(x)=\dfrac{3}{x^{4}}-\dfrac{x^{2}}{x^{4}}\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=\dfrac{3-x^{2}}{x^{4}}}}$