Question

derivada de f(x)= x^2tg(x), para x=pi/4

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = x {}^{2} .tan(x)$

Se você observar nessa função, possuímos um produto entre x² e tan(x), ou seja, podemos usar a regra do produto, dada por:

$\sf (f.g)' = f'.g + f.g'$

Considerando que:

$\sf f = x {}^{2} \\ \sf g = tan(x)$

Vamos substituir esses dados na regra:

$\sf (f.g)' = f'.g + f.g' \\ \sf (x {}^{2} .tan(x))' = (x {}^{2} )'.tan(x) + x {}^{2} .(tan(x))' \\ \sf \sf (x {}^{2} .tan(x))' = 2.x {}^{2 - 1} .tan(x) + x {}^{2} .sec {}^{2} (x) \\ \sf \sf (x {}^{2} .tan(x))' = 2x.tan(x) + x {}^{2} sec {}^{2}(x)$

A questão fala que x = π/4, então vamos substituir esse valor na incógnita x:

$\sf (x {}^{2} .tan(x))' = 2x.tan(x) + x {}^{2} sec {}^{2}(x) \\ \\ \sf 2. \left( \frac{\pi}{4} \right)tan \left( \frac{\pi}{4} \right) + \left( \frac{\pi}{4} \right) {}^{2} . \left( \frac{2}{ \sqrt{2} } \right ) {}^{2} \\ \\ \sf \frac{2\pi}{4} .1 + \frac{\pi {}^{2} }{16} . \frac{4}{2} = \sf \frac{2\pi}{4} + \frac{4\pi {}^{2} }{32} = \boxed{\sf \frac{\pi}{2} + \frac{\pi {}^{2} }{8} }$

Espero ter ajudado