Question

derivada de f(x)=x-1/x-2 como faço pra responder por definição?

Answer 1

Olá

O negócio é trabalhoso mas, vamos lá

O calculo de derivada por definição é dada por $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$


$\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{x+h-1}{x+h-2} - \frac{x-1}{x-2} }{h} \\ \\Faz~o~mmc \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{(x-2)(x+h-1)-(x+h-2)(x-1)}{(x+h-2)(x-2)} }{h} \\ \\ Faz~a~bendita~distributiva \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{(x^2+xh-x-2x-2h+2)-(x^2-x+xh-h-2x+2)}{(x+h-2)(x-2)} }{h} \\ \\ Distribui~o~sinal~para~fica~mais~facil~a~visualizacao,~para~que~ \\ possamos~simplificar~algo \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{x^2+xh-x-2x-2h+2-x^2+x-xh+h+2x-2}{(x+h-2)(x-2)} }{h}$


$\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{x^2+xh-x-2x-2h+2-x^2+x-xh+h+2x-2}{(x+h-2)(x-2)} }{h} \\ \\ Vamos~juntar~os~termos~em~comum~para~simplificar \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{x^2+xh-3x-2h+2-x^2-xh+h+3x-2}{(x+h-2)(x-2)} }{h} \\ \\ Simplificando \\ \\ \mathtt{\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{\diagup \!\!\!\!x^2+\diagup\!\!\!\!\! xh~~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\-3x-2h+\diagup\!\!\!\!2~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!-x^2\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!-xh+h+\diagup\!\!\!\!\!3x-\diagup\!\!\!\!2}{(x+h-2)(x-2)} }{h} }$

  $\mathtt{\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{\diagup \!\!\!\!x^2+\diagup\!\!\!\!\! xh~~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\-3x-2h+\diagup\!\!\!\!2~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!-x^2\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!-xh+h+\diagup\!\!\!\!\!3x-\diagup\!\!\!\!2}{(x+h-2)(x-2)} }{h} } \\ \\ Apos~a~simplificacao~fica \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{-2h+h}{(x+h-2)(x-2)} }{h} \\ \\ Ainda~podemos~subtrair~aquele~h...fica \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{-h}{(x+h-2)(x-2)} }{h}$


$Podemos~reescrever~o~limite~dessa~maneira \\ \\ \mathtt{ \lim_{h \to 0} \frac{\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!-h}{(x+h-2)(x-2)}\cdot \frac{1}{\diagup\!\!\!\! h} } \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x+h-2(x-2)}= \frac{-1}{(x-2)(x-2)} =\boxed{- \frac{1}{(x-2)^2}} \\ \\ Note~que~o~h~vale~0$